Ableitungsrechner: Funktionen online ableiten, mit Regeln und Rechenweg

Ein Ableitungsrechner zerlegt jede Funktion in bekannte Ableitungsregeln

Ableiten ist keine Rechnung mit Zahlen, sondern das Anwenden weniger Regeln auf einen Term. Jede noch so lange Funktion setzt sich aus Potenzen, Summen, Produkten, Quotienten und verschachtelten Grundfunktionen zusammen. Der Rechner erkennt diese Bausteine, wendet die passende Regel an und fasst das Ergebnis anschließend zusammen. Die folgenden Abschnitte zeigen jede Regel mit einem Beispiel, das direkt aus dem Rechenkern stammt.

Ableitungsregeln im Überblick mit Beispielen aus dem Ableitungsrechner

Die Zahl 0,6931 bei 2ˣ ist ln(2), gerundet auf vier Stellen.

Potenzregel und Summenregel: der Normalfall bei Polynomen

Bei einem Polynom wie 3x⁴ − 2x² + 7 leitet der Rechner jeden Summanden einzeln ab. Der Zwischenschritt lautet im Rechenweg 3 · 4 · x³ − 2 · 2 · x + 0. Der Exponent wandert als Faktor nach vorn und sinkt um eins, der konstante Faktor bleibt stehen, die Konstante 7 fällt weg. Zusammengefasst ergibt sich f′(x) = 12x³ − 4x. Die zweite Ableitung ist 36x² − 4, die dritte 72x.

Auch Brüche wie 4/x lassen sich über die Potenzregel lösen, wenn man sie als 4 · x⁻¹ schreibt. Die Ableitung von 4/x ist −4/x², die zweite Ableitung 8/x³ und die dritte −24/x⁴. Der Rechner kennzeichnet diesen Fall als Quotientenregel, weil x im Nenner steht, das Ergebnis ist aber identisch.

Produktregel und Quotientenregel beim Ableiten online

Hängen beide Faktoren eines Produkts von x ab, reicht die Faktorregel nicht mehr. Für x² · sin(x) gilt u = x² und v = sin(x). Der Rechner setzt ein: 2x · sin(x) + x² · cos(x). Ein zweites Beispiel ist x · eˣ, dessen Ableitung eˣ · (x + 1) lautet. Hier zeigt sich ein Muster: Jede weitere Ableitung erhöht nur die Zahl in der Klammer, die zweite ist eˣ · (x + 2), die dritte eˣ · (x + 3).

Bei der Quotientenregel lohnt sich der Merksatz ‘NAZ minus ZAN durch N-Quadrat’: Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners, geteilt durch den Nenner zum Quadrat. Für x²/(x + 1) lautet der ungekürzte Rechenweg (2x · (x + 1) − x² · 1) / (x + 1)².

Kettenregel für verschachtelte Funktionen

Steckt in einer Funktion eine weitere Funktion, multiplizieren Sie die äußere Ableitung mit der inneren. Bei (3x + 1)⁴ ist die äußere Funktion die vierte Potenz, die innere 3x + 1. Äußere Ableitung 4 · (3x + 1)³, innere Ableitung 3, zusammen 12 · (3x + 1)³. Ebenso liefert sin(3x) die Ableitung 3 · cos(3x) und ln(x² + 1) die Ableitung 2x / (x² + 1).

Ableitung der e-Funktion mit dem Rechner

Die natürliche Exponentialfunktion ist die einzige Funktion, die beim Ableiten unverändert bleibt. Die erste, zweite und dritte Ableitung von eˣ sind jeweils eˣ. Sobald im Exponenten ein Term steht, kommt die Kettenregel dazu. Für e^(2x) erhalten Sie 2 · e^(2x), dann 4 · e^(2x) und 8 · e^(2x). Für die Glockenkurve e^(−x²) liefert der Rechner −2x · e^(−x²). Wer anschließend die Fläche unter einer solchen Kurve braucht, findet die Umkehrung im Integralrechner.

Praxisbeispiel Ableitung: Steigung und Tangente an einer Stelle

Nehmen Sie f(x) = x³ − 6x² + 9x und die Stelle x = 2. Der Rechner zeigt zunächst f′(x) = 3x² − 12x + 9. Eingesetzt ergibt sich f′(2) = −3, der Graph fällt dort also mit Steigung −3. Der Funktionswert ist f(2) = 2, der Punkt heißt (2 | 2). Die Tangente lautet y = −3x + 8.

Weiter lässt sich fragen, wo die Steigung null ist. Das führt auf 3x² − 12x + 9 = 0, eine quadratische Gleichung, die Sie mit dem Rechner für quadratische Gleichungen lösen. Die zweite Ableitung 6x − 12 wird bei x = 2 null, dort liegt der Wendepunkt, denn die dritte Ableitung 6 ist ungleich null.

Plausibilitätsprüfung: Merkhilfe für Ableitungen im Kopf

Drei schnelle Kontrollen decken die meisten Fehler auf. Erstens sinkt bei einem Polynom der höchste Exponent um genau eins, aus Grad 4 wird Grad 3. Zweitens wird jede Konstante zu null. Drittens können Sie eine Ableitung numerisch prüfen: Für f(x) = x² liegt die Steigung zwischen x = 3 und x = 3,01 bei (9,0601 − 9) / 0,01 = 6,01, also sehr nahe am Rechnerwert f′(3) = 6. Bei Sinus und Kosinus hilft der Kreis: sin wird zu cos, cos zu −sin, −sin zu −cos und −cos wieder zu sin.

Typische Fehler beim Ableiten und bei der Eingabe

Der häufigste Fehler ist die vergessene innere Ableitung. Wer sin(3x) zu cos(3x) ableitet, unterschlägt den Faktor 3. Ebenso oft wird das Produkt x² · sin(x) einfach faktorweise abgeleitet, was 2x · cos(x) ergibt und falsch ist. Beim Quotienten wird das Minuszeichen im Zähler vertauscht.

Bei der Eingabe gilt: ln steht für den natürlichen Logarithmus, lg für die Basis 10. Mit Logarithmen zu anderen Basen rechnet der Logarithmus-Rechner. Klammern um Exponenten sind Pflicht, e^2x wird als e² · x gelesen und nicht als e^(2x). Und tan(x) liefert der Rechner in der Form sec(x)², was dasselbe ist wie 1/cos²(x).

Bei partiellen Ableitungen entsteht ein weiterer Fehler: Die zweite Variable wird mit abgeleitet, obwohl sie als Konstante gilt. Leiten Sie x² · y + 3y nach x ab, bleibt y als Faktor stehen und der Summand 3y fällt weg. Der Rechner liefert 2 · y · x. Wählen Sie dagegen y als Variable, verhält sich x² wie eine Zahl.