Was verraten erste, zweite und dritte Ableitung über eine Funktion?
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Die erste Ableitung gibt die Steigung des Graphen an jeder Stelle an und zeigt, wo die Funktion steigt oder fällt. Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung und damit Links- oder Rechtskurven. Die dritte Ableitung bestätigt Wendepunkte. Bei Polynomen entsteht jede Ableitung mit Potenz-, Faktor- und Summenregel aus der vorherigen.
Erlaubt sind + − · / ^, Klammern sowie sin, cos, tan, e^x, ln, lg, sqrt. Dezimalkomma wird erkannt.
f′(x)
3 · x^2 + 2
f′(x)
3 · x^2 + 2
f″(x)
6 · x
f‴(x)
6
Rechenweg
- f(x) = x^3 + 2x
- Summenregel: Jeder Summand wird einzeln abgeleitet, (u + v)′ = u′ + v′.
- Potenzregel: (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹.
- Faktorregel: Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten, (c · u)′ = c · u′.
- Regeln anwenden: f′(x) = 3 · 1 · x^(3 - 1) + 2 · 1
- Zusammenfassen: f′(x) = 3 · x^2 + 2
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Formel
Bei einer Potenz von x wandert der Exponent als Faktor nach vorn und der Exponent selbst sinkt um eins. Konstante Faktoren bleiben stehen, Summen werden gliedweise abgeleitet, und eine einzelne Konstante fällt beim Ableiten weg.
(a · x^n)' = a · n · x^(n - 1)
- a
- konstanter Faktor vor der Potenz
- n
- Exponent der Potenz
- f'(x), f''(x), f'''(x)
- erste, zweite und dritte Ableitung der Funktion f
Rechenbeispiel: f(x) = x^3 + 2x dreimal ableiten
- 1
Funktion in Summanden zerlegen: x^3 und 2x werden nach der Summenregel einzeln abgeleitet
= Summenregel
- 2
Potenzregel auf x^3 anwenden: der Exponent 3 wandert nach vorn, es bleibt 3 · x^2
= Potenzregel
- 3
Faktorregel auf 2x anwenden: der Faktor 2 bleibt, x abgeleitet ergibt 1, also bleibt 2
= Faktorregel
- 4
Erste Ableitung zusammensetzen: f'(x) = 3 · x^2 + 2
= Ableitung der Ordnung 1
- 5
Weiter ableiten: die zweite Ableitung lautet f''(x) = 6 · x, die dritte f'''(x) = 6
Die erste Ableitung 3 · x^2 + 2 ist für jedes x größer als null, der Graph steigt also überall und hat keinen Hoch- oder Tiefpunkt. Die zweite Ableitung 6 · x wechselt bei x = 0 das Vorzeichen, die dritte Ableitung 6 ist dort nicht null: Im Ursprung liegt ein Wendepunkt.
Typische Fehler
errorDen Exponenten nicht um eins verringert
Aus x^3 wird 3 · x^2, nicht 3 · x^3. Wer nur den Faktor nach vorn zieht und die Hochzahl stehen lässt, erhält eine Funktion, die viel zu stark wächst. Prüfen Sie jede Potenz einzeln, bevor Sie zusammenfassen.
errorAus der Nullstelle der zweiten Ableitung sofort einen Wendepunkt geschlossen
Eine Nullstelle von f'' ist nur ein Kandidat. Erst wenn f'' dort das Vorzeichen wechselt oder die dritte Ableitung ungleich null ist, liegt tatsächlich ein Wendepunkt vor. Bei f(x) = x^4 ist f''(0) = 0, trotzdem gibt es dort keinen Wendepunkt.
errorWaagerechte Tangente mit Extrempunkt gleichgesetzt
Auch an einem Sattelpunkt ist die erste Ableitung null, der Graph steigt aber davor und danach weiter. Ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, entscheidet erst das Vorzeichen der zweiten Ableitung an dieser Stelle.
Kurvendiskussion mit den ersten drei Ableitungen
Die Ableitungen einer Funktion bilden eine Art Werkzeugkasten, mit dem sich der Verlauf eines Graphen beschreiben lässt, ohne ihn zu zeichnen. Die erste Ableitung liefert die Steigung. Wo sie null wird, verläuft die Tangente waagerecht, und dort können Hoch- oder Tiefpunkte liegen. Die zweite Ableitung entscheidet, welcher Fall vorliegt: Ist sie an dieser Stelle negativ, krümmt sich der Graph nach unten, es liegt ein Hochpunkt vor. Ist sie positiv, handelt es sich um einen Tiefpunkt.
Die zweite Ableitung hat noch eine zweite Aufgabe. Ihre Nullstellen markieren mögliche Wendepunkte, an denen der Graph von einer Rechts- in eine Linkskurve wechselt oder umgekehrt. Die dritte Ableitung dient dann als Kontrolle. Ist sie an der Kandidatenstelle ungleich null, ist der Wendepunkt bestätigt. Ist die erste Ableitung dort zusätzlich null, spricht man von einem Sattelpunkt, einem Wendepunkt mit waagerechter Tangente, wie ihn f(x) = x^3 im Ursprung hat. Zusammen ergeben diese drei Prüfungen ein vollständiges Bild vom Verlauf der Kurve, das sich mit wenigen Funktionswerten zu einer Skizze ergänzen lässt.
Wann Ableiten im Alltag weiterhilft
Ableitungen beschreiben Änderungsraten, und die begegnen einem häufiger, als man denkt. Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Weges nach der Zeit, die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit. In der Wirtschaft heißt die Ableitung der Kostenfunktion Grenzkosten: Sie gibt an, wie viel eine zusätzlich produzierte Einheit ungefähr kostet. Auch bei Optimierungsfragen hilft die erste Ableitung. Wer etwa aus einem Blech mit fester Größe eine Schachtel mit möglichst großem Volumen falten will, stellt eine Volumenfunktion auf, leitet sie ab und sucht die Nullstelle der Ableitung.
Für Polynome reichen dabei Potenz-, Faktor- und Summenregel. Erst wenn Funktionen verkettet, multipliziert oder geteilt werden, kommen Ketten-, Produkt- und Quotientenregel hinzu. Ein Rechner mit Rechenweg zeigt, welche Regel an welcher Stelle greift, und eignet sich deshalb gut, um eigene Lösungen Schritt für Schritt zu kontrollieren.