n über k einfach erklärt: warum 49 über 6 knapp 14 Millionen ergibt
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
n über k zählt, wie viele verschiedene Gruppen mit k Elementen sich aus n Elementen bilden lassen, wenn die Reihenfolge egal ist. Sie zählen zuerst alle geordneten Auswahlen und teilen dann durch k!, weil jede Gruppe genau k!-mal in anderer Reihenfolge vorkommt. Für 49 über 6 ergibt das 13.983.816.
n und k von 0 bis 170. Alle Ergebnisse werden exakt als ganze Zahl berechnet.
49 über 6
13.983.816
49! (Fakultät)
6,0828 · 10^62
63 Stellen
6! (Fakultät)
720
Urnenmodell: alle Fälle der Kombinatorik
| Fall | Formel | Anzahl |
|---|---|---|
| Permutation ohne Wiederholung alle n Kugeln ziehen, Reihenfolge zählt | n! | 6,0828 · 10^62 |
| Variation ohne Wiederholung k Kugeln ohne Zurücklegen, Reihenfolge zählt | n! / (n − k)! | 10.068.347.520 |
| Variation mit Wiederholung k Kugeln mit Zurücklegen, Reihenfolge zählt | n^k | 13.841.287.201 |
| Kombination ohne Wiederholung k Kugeln ohne Zurücklegen, Reihenfolge egal | (n über k) = n! / (k! · (n − k)!) | 13.983.816 |
| Kombination mit Wiederholung k Kugeln mit Zurücklegen, Reihenfolge egal | (n + k − 1 über k) | 25.827.165 |
49! vollständig (63 Stellen)
608.281.864.034.267.560.872.252.163.321.295.376.887.552.831.379.210.240.000.000.000
Rechenweg
- (49 über 6) = 49! / (6! · 43!)
- Gekürzt: (49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44) / (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1)
- = 10.068.347.520 / 720 = 13.983.816
- 49! = 608.281.864.034.267.560.872.252.163.321.295.376.887.552.831.379.210.240.000.000.000
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Formel
Für die erste Position gibt es n Möglichkeiten, für die zweite n − 1 und so weiter, bis k Elemente gewählt sind. Dieses Produkt zählt jede Auswahl in allen ihren Reihenfolgen. Teilt man durch k!, die Zahl der Reihenfolgen von k Elementen, bleibt die Zahl der ungeordneten Gruppen.
n über k = n · (n − 1) · … · (n − k + 1) / k! = n! / (k! · (n − k)!)
- n
- Anzahl der Elemente, aus denen ausgewählt wird
- k
- Anzahl der ausgewählten Elemente
- k!
- Fakultät von k, die Zahl der möglichen Reihenfolgen von k Elementen
Rechenbeispiel: 49 über 6 beim Lotto
- 1
Sechs Kugeln nacheinander ziehen, Reihenfolge zählt: 49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44
= 10.068.347.520
- 2
Reihenfolgen derselben sechs Zahlen: 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
= 720
- 3
Reihenfolge herausrechnen: 10.068.347.520 / 720
= 13.983.816
- 4
Zum Vergleich mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge: (54 über 6)
= 25.827.165
Es gibt 13.983.816 verschiedene Lottotipps. Die Zahl der geordneten Ziehungen ist 720-mal so groß, weil jeder Tipp in 720 Reihenfolgen gezogen werden kann. Dürfte eine Zahl mehrfach vorkommen, wären es 25.827.165 Tipps.
Typische Fehler
errorVergessen, durch k! zu teilen
Wer nur das Produkt 49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 bildet, zählt jeden Tipp 720-mal und erhält über zehn Milliarden statt knapp 14 Millionen. Fragen Sie sich vor dem Rechnen, ob dieselbe Auswahl in anderer Reihenfolge als neues Ergebnis zählt.
errorDurch k statt durch k! geteilt
Sechs Zahlen lassen sich nicht auf 6, sondern auf 6! = 720 Arten anordnen. Wer nur durch k teilt, erhält ein viel zu großes Ergebnis. Schreiben Sie den Nenner als Produkt aus, dann wird der Fehler sichtbar.
errorMit dem großen statt dem kleinen k gerechnet
49 über 43 ist dasselbe wie 49 über 6, denn wer sechs Zahlen auswählt, legt zugleich die 43 nicht gewählten fest. Rechnen Sie immer mit dem kleineren der beiden Werte k und n − k, das spart viele Faktoren.
n über k als Zählen in zwei Schritten
Der Binomialkoeffizient wirkt mit seinen drei Fakultäten abstrakt, die Idee dahinter ist aber eine einfache Zählregel. Stellen Sie sich vor, Sie ziehen die Lottokugeln einzeln und notieren sie in der Reihenfolge, in der sie fallen. Für die erste Kugel gibt es 49 Möglichkeiten, für die zweite noch 48, für die dritte 47. Nach sechs Kugeln haben Sie über zehn Milliarden geordnete Ziehungen gezählt.
Auf dem Lottoschein spielt die Reihenfolge aber keine Rolle. Die Ziehung 3, 17, 25, 31, 40, 48 ist derselbe Tipp wie 48, 40, 31, 25, 17, 3. Jeder Tipp steckt in der großen Zahl so oft, wie sich sechs Zahlen umsortieren lassen, und das sind 6! = 720 Reihenfolgen. Teilen Sie durch 720, bleibt jeder Tipp genau einmal übrig.
Genau dieser Gedanke steckt in der Formel n! / (k! · (n − k)!). Der Teil n! / (n − k)! ist das Produkt der k größten Faktoren, also das geordnete Zählen. Das k! im Nenner entfernt die Reihenfolge. Im Rechner sehen Sie deshalb immer den gekürzten Rechenweg statt der riesigen Fakultäten, denn 49! allein hat 63 Stellen.
Wann n über k die falsche Formel ist
Der Binomialkoeffizient passt nur, wenn zwei Bedingungen gleichzeitig gelten: Jedes Element darf höchstens einmal gewählt werden, und die Reihenfolge ist egal. Zählt die Reihenfolge, etwa bei einer Rangliste oder einem Zahlencode, bleibt es beim Produkt ohne Teilen. Darf ein Element mehrfach vorkommen, wie bei Eiskugeln derselben Sorte, wird aus n über k der Ausdruck n + k − 1 über k. Der Rechner zeigt alle Varianten des Urnenmodells nebeneinander, damit Sie die passende Zahl direkt ablesen können.
Ein schneller Test hilft bei Textaufgaben: Vertauschen Sie in Gedanken zwei gewählte Elemente. Entsteht dadurch ein anderes Ergebnis, etwa ein anderer Sieger auf dem Treppchen, zählt die Reihenfolge. Bleibt alles gleich, wie bei einer Mannschaft oder einem Lottotipp, ist n über k richtig.