Binomialverteilung-Rechner: P(X = k), P(X ≤ k) und P(X ≥ k) mit Tabelle

Die Binomialverteilung zählt die Treffer bei n gleichen, unabhängigen Versuchen

Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt, wenn sie die Treffer in einer Bernoulli-Kette zählt. Die Verteilung hat zwei Parameter, die Zahl der Versuche n und die Trefferwahrscheinlichkeit p, und wird kurz B(n; p) geschrieben. Aus diesen beiden Werten folgt alles Weitere: die Einzelwahrscheinlichkeiten, die kumulierten Werte, Erwartungswert und Streuung.

Binomialverteilung mit der Formel von Bernoulli berechnen

Die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer lautet P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Der erste Faktor zählt, an wie vielen Stellen der Kette die k Treffer liegen können, der zweite und dritte geben die Wahrscheinlichkeit einer einzelnen solchen Kette an. Für zehn Münzwürfe und genau fünfmal Kopf rechnet der Rechner:

1. n über k: 10 über 5 = 252 mögliche Positionen der fünf Treffer
2. pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ: 0,5⁵ · 0,5⁵
3. P(X = 5) = 252 · 0,5⁵ · 0,5⁵ = 0,24609375, also 24,61 %

Den Binomialkoeffizienten selbst mit gekürztem Rechenweg zeigt der Binomialkoeffizient-Rechner.

Wann ein Zufallsexperiment binomialverteilt ist

Drei Bedingungen müssen erfüllt sein. Erstens hat jeder Versuch genau zwei Ausgänge, die Sie als Treffer und Niete festlegen. Zweitens bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit p bei allen Versuchen gleich. Drittens sind die Versuche unabhängig voneinander. Der Würfelwurf mit “Sechs oder keine Sechs” erfüllt alle drei. Das Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit wenigen Kugeln verletzt die zweite Bedingung. Bei sehr großen Grundgesamtheiten, etwa einer Stichprobe von 50 aus einer Lieferung von 10.000 Teilen, ist der Fehler so klein, dass die Binomialverteilung trotzdem als Modell dient.

Binomialverteilung Tabelle für zehn Münzwürfe

Bis n = 100 gibt der Rechner die vollständige Tabelle aus. Für B(10; 0,5) sieht sie so aus:

Weil p = 0,5 ist, liegt die Verteilung symmetrisch um 5. Fünfmal Kopf ist der häufigste Ausgang, und doch tritt er nur in knapp einem Viertel der Fälle ein.

Genau, höchstens, mindestens: typische Abi-Aufgaben zur Binomialverteilung

Ein Würfel wird zehnmal geworfen, X zählt die Sechsen, also B(10; 1/6). Die Formulierungen der Aufgabe führen zu ganz unterschiedlichen Ergebnissen:

Der Wert für mindestens eine Sechs stimmt mit dem “mindestens einmal” aus dem Wahrscheinlichkeitsrechner überein, denn beide rechnen 1 − (5/6)¹⁰. Für Intervalle tragen Sie im Rechner die Grenzen a und b ein. Ohne Eingabe nimmt er k − 1 bis k + 1.

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung der Binomialverteilung

Der Erwartungswert μ = n · p gibt an, wie viele Treffer im Mittel auftreten. Die Varianz σ² = n · p · (1 − p) misst die Streuung, ihre Wurzel ist die Standardabweichung σ.

Der Erwartungswert muss keine ganze Zahl sein. Bei zehn Würfen sind 1,67 Sechsen im Mittel zu erwarten, am häufigsten fällt genau eine. Die Standardabweichung von Messreihen statt Verteilungen berechnet der Standardabweichung-Rechner.

Normalverteilung als Näherung: die Laplace-Bedingung σ² > 9

Für große n lässt sich die Binomialverteilung durch die Normalverteilung mit μ = n · p und σ annähern. Als Faustregel gilt die Laplace-Bedingung σ² > 9. Ist sie erfüllt, zeigt der Rechner neben dem exakten Wert die Näherung mit Stetigkeitskorrektur: Die Grenze wird um 0,5 verschoben, weil eine stetige Kurve diskrete Balken ersetzt.

Bei p = 0,5 ist die Näherung fast perfekt. Bei p = 0,3 ist die Binomialverteilung leicht schief, die Abweichung steigt auf die dritte Nachkommastelle. Weil der exakte Wert ohnehin vorliegt, dient die Näherung vor allem zum Vergleich mit Aufgaben, die sie ausdrücklich verlangen.

Praxisbeispiel Binomialverteilung: Stichprobe mit 10 % Ausschuss

Eine Maschine produziert 10 % fehlerhafte Teile. Eine Prüferin zieht 20 Teile. Mit n = 20, p = 0,1 und k = 2 liefert der Rechner:

• genau zwei fehlerhafte Teile: P(X = 2) = 28,52 %
• kein fehlerhaftes Teil: P(X = 0) = 12,16 %
• höchstens zwei fehlerhafte Teile: P(X ≤ 2) = 67,69 %
• mehr als zwei fehlerhafte Teile: P(X > 2) = 32,31 %
• Erwartungswert: 2 fehlerhafte Teile, Standardabweichung 1,3416

Lautet die Regel “Lieferung zurückweisen, wenn mehr als zwei Teile fehlerhaft sind”, wird also fast jede dritte Lieferung abgelehnt, obwohl die Maschine genau im Soll arbeitet.

Plausibilitätsprüfung zur Binomialverteilung

• Alle P(X = k) von 0 bis n ergeben zusammen 1, die letzte Zeile der kumulierten Spalte ist immer 1.
• P(X ≤ k) und P(X > k) ergeben zusammen 1, ebenso P(X < k) und P(X ≥ k).
• Die größte Einzelwahrscheinlichkeit liegt beim häufigsten Wert, nahe dem Erwartungswert n · p.
• Bei p = 0,5 ist die Tabelle symmetrisch: P(X = k) = P(X = n − k).
• Bei großem n liegt grob zwei Drittel der Wahrscheinlichkeit innerhalb einer Standardabweichung um μ und rund 95 % innerhalb von zwei.

Typische Fehler bei der Binomialverteilung

Mindestens k mit 1 − P(X ≤ k) rechnen. Das ergibt “mehr als k”. Richtig ist P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Bei zehn Würfen ist mindestens zwei Sechsen 51,55 %, mehr als zwei nur 22,48 %.

p in Prozent eingeben. 25 statt 0,25 ist keine Wahrscheinlichkeit. Der Rechner meldet einen Fehler, ein Taschenrechner rechnet stillschweigend Unsinn.

Treffer und Niete vertauschen. Fragt die Aufgabe nach “höchstens zwei Nieten”, zählen Sie entweder die Nieten mit p = 1 − Trefferwahrscheinlichkeit oder rechnen auf mindestens n − 2 Treffer um.

Ziehen ohne Zurücklegen als binomial behandeln. Bei kleinen Urnen ändert sich p nach jedem Zug. Dann ist die hypergeometrische Verteilung das richtige Modell, die Binomialverteilung liefert nur eine Näherung.