Höchstens, mindestens, genau: Binomialverteilung im Abi richtig lesen
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Genau k heißt P(X = k), höchstens k heißt P(X ≤ k), mindestens k heißt P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Weniger als k ist P(X ≤ k − 1), mehr als k ist P(X ≥ k + 1). Bei zehn Münzwürfen ergibt genau fünfmal Kopf 0,2461, höchstens und mindestens fünfmal jeweils 0,6230.
p als Dezimalzahl zwischen 0 und 1 eingeben, 25 % also als 0,25. n bis 10.000, Tabelle bis n = 100.
P(X = 5)
0,246094
24,6094 %
P(X ≤ 5)
0,623047
62,3047 %
P(X ≥ 5)
0,623047
62,3047 %
P(X < 5)
0,376953
37,6953 %
P(X > 5)
0,376953
37,6953 %
P(4 ≤ X ≤ 6)
0,65625
65,625 %
Erwartungswert μ
5
Varianz σ²
2,5
Standardabweichung σ
1,5811
σ² ist höchstens 9, eine Näherung mit der Normalverteilung wäre hier zu ungenau.
Wahrscheinlichkeitsverteilung B(10; 0,5)
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | Balken |
|---|---|---|---|
| 0 | 0,000977 | 0,000977 | |
| 1 | 0,009766 | 0,010742 | |
| 2 | 0,043945 | 0,054688 | |
| 3 | 0,117188 | 0,171875 | |
| 4 | 0,205078 | 0,376953 | |
| 5 | 0,246094 | 0,623047 | |
| 6 | 0,205078 | 0,828125 | |
| 7 | 0,117188 | 0,945313 | |
| 8 | 0,043945 | 0,989258 | |
| 9 | 0,009766 | 0,999023 | |
| 10 | 0,000977 | 1 |
Rechenweg
- Formel von Bernoulli: P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 − p)^(n − k)
- P(X = 5) = (10 über 5) · 0,5^5 · 0,5^5 = 0,24609375
- P(X ≤ 5) = P(X = 0) + … + P(X = 5) = 0,62304688
- P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4) = 1 − 0,37695313 = 0,62304688
- P(4 ≤ X ≤ 6) = P(X ≤ 6) − P(X ≤ 3) = 0,65625
- Erwartungswert μ = n · p = 10 · 0,5 = 5
- Varianz σ² = n · p · (1 − p) = 2,5, Standardabweichung σ = 1,5811
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Formel
Die Einzelwahrscheinlichkeit für genau k Treffer liefert die Formel von Bernoulli. Alle anderen Formulierungen sind Summen solcher Einzelwerte. Höchstens k addiert alle Werte von 0 bis k. Für mindestens k ist der Weg über das Gegenereignis kürzer: 1 minus die Summe bis k − 1.
P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ; P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)
- n
- Anzahl der Versuche
- p
- Trefferwahrscheinlichkeit pro Versuch als Dezimalzahl
- k
- Anzahl der Treffer, nach der gefragt wird
Rechenbeispiel: zehn Münzwürfe, X zählt Kopf
- 1
Genau fünfmal Kopf: P(X = 5) = (10 über 5) · 0,5⁵ · 0,5⁵ = 252 · 0,5¹⁰
= 0,2461
- 2
Höchstens fünfmal Kopf: P(X ≤ 5) = P(X = 0) + … + P(X = 5)
= 0,6230
- 3
Weniger als fünfmal Kopf: P(X ≤ 4)
= 0,3770
- 4
Mindestens fünfmal Kopf: P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4)
= 0,6230
- 5
Mehr als fünfmal Kopf: P(X ≥ 6) = 1 − P(X ≤ 5)
= 0,3770
- 6
Vier bis sechsmal Kopf: P(4 ≤ X ≤ 6) = P(X ≤ 6) − P(X ≤ 3)
= 0,6563
Dieselbe Zahl 5 führt je nach Formulierung zu 0,2461, 0,3770, 0,6230 oder 0,6563. Der Erwartungswert liegt bei 5 Treffern, die Standardabweichung bei 1,5811.
Typische Fehler
errorMindestens k als 1 − P(X ≤ k) gerechnet
1 − P(X ≤ 5) ist die Wahrscheinlichkeit für mehr als fünf Treffer, also 0,3770. Für mindestens fünf muss die Fünf mitgezählt werden, deshalb ziehen Sie nur P(X ≤ 4) ab und erhalten 0,6230.
errorWeniger als k mit höchstens k gleichgesetzt
Weniger als fünf schließt die Fünf aus und bedeutet höchstens vier. Schreiben Sie bei jeder Aufgabe zuerst die kleinste und die größte erlaubte Trefferzahl auf, bevor Sie in Tabelle oder Rechner nachsehen.
errorHöchstens k als Einzelwahrscheinlichkeit abgelesen
Höchstens fünf umfasst null bis fünf Treffer. Wer nur P(X = 5) = 0,2461 nimmt, unterschlägt alle kleineren Trefferzahlen. In Tafelwerken steht der richtige Wert in der kumulierten Spalte, nicht in der Spalte der Einzelwerte.
Erst übersetzen, dann rechnen: die Signalwörter der Binomialverteilung
In Abituraufgaben zur Binomialverteilung ist die Rechnung selten das Problem, denn Tafelwerk, Taschenrechner oder Online-Rechner liefern die Werte zuverlässig. Punkte gehen bei der Übersetzung verloren: Aus dem Aufgabentext muss ein Ausdruck wie P(X ≤ 4) oder P(X ≥ 6) werden. Dafür reicht eine kleine Tabelle im Kopf. Genau steht für ein Gleichheitszeichen, höchstens und nicht mehr als für kleiner gleich, mindestens und nicht weniger als für größer gleich. Weniger als und mehr als schließen die genannte Zahl aus und verschieben die Grenze um eins.
Ein bewährter Weg in der Prüfung: Schreiben Sie die Trefferzahlen 0 bis n als Zahlenstrahl auf und markieren Sie die Werte, die zum Ereignis gehören. Bei zehn Würfen und “mehr als fünf” sind das 6 bis 10. Liegt der markierte Bereich am oberen Ende, rechnen Sie über das Gegenereignis, denn kumulierte Tabellen beginnen immer bei null. Bei zehn Würfen mit einem Würfel, X zählt die Sechsen, ergibt mindestens zwei Sechsen so 1 − P(X ≤ 1) = 51,55 %, mehr als zwei Sechsen dagegen 1 − P(X ≤ 2) = 22,48 %. Ein einziges Wort verschiebt das Ergebnis um fast 30 Prozentpunkte.
Warum die kumulierte Spalte der Schlüssel ist
Tafelwerke und der Rechner führen neben P(X = k) die kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ k). Jede Formulierung lässt sich daraus mit höchstens einer Subtraktion bilden. Mindestens k ist 1 minus der kumulierte Wert bei k − 1, ein Intervall von a bis b ist der kumulierte Wert bei b minus dem bei a − 1. Wer diese zwei Regeln sicher beherrscht, braucht die Formel von Bernoulli nur noch für Einzelwerte.
Bei großen n wird in manchen Aufgaben zusätzlich die Normalverteilung als Näherung verlangt. Der Rechner zeigt sie automatisch, sobald die Varianz größer als 9 ist, und stellt sie dem exakten Wert gegenüber. Für zehn Münzwürfe ist die Bedingung mit einer Varianz von 2,5 noch nicht erfüllt.