Bruch in Dezimalzahl umrechnen und Dezimalzahl in Bruch, auch periodisch

Bruch in Dezimalzahl heißt Zähler durch Nenner, und der Nenner entscheidet über die Periode

Jeder Bruch ist eine Division, die noch nicht ausgeführt wurde. Teilen Sie den Zähler durch den Nenner, erhalten Sie die Dezimalzahl. Spannend ist, wie diese Dezimalzahl endet: Manche Divisionen gehen nach wenigen Stellen auf, andere wiederholen ab einer bestimmten Stelle eine Ziffernfolge bis ins Unendliche. Welcher Fall eintritt, lässt sich vorab am Nenner ablesen.

Bruch in Dezimalzahl: Tabelle der häufigsten Brüche

Die folgende Tabelle zeigt die Brüche, die in Schule, Küche und Werkstatt am häufigsten vorkommen. Perioden stehen in Klammern.

Wer Brüche als Anteil versteht, kann den Dezimalwert direkt mit 100 multiplizieren und erhält den Prozentsatz; für weitere Prozentaufgaben gibt es den Prozentrechner.

Welche Nenner eine endliche Dezimalzahl ergeben

Die Regel ist einfach: Kürzen Sie den Bruch vollständig und zerlegen Sie den Nenner in Primfaktoren. Enthält er nur die Faktoren 2 und 5, bricht die Dezimalzahl ab. Der Grund: 10 = 2 · 5, und jeder solche Nenner lässt sich zu einer Zehnerpotenz erweitern. 3/8 wird mit 125 erweitert zu 375/1.000 = 0,375.

Die Zahl der Nachkommastellen entspricht dem größeren der beiden Exponenten. Der Nenner 8 = 2³ liefert drei Stellen, 16 = 2⁴ vier Stellen, 40 = 2³ · 5 wieder drei Stellen (17/40 = 0,425). Sobald ein anderer Primfaktor wie 3, 7 oder 11 im gekürzten Nenner steht, wird die Dezimalzahl periodisch. Den gekürzten Nenner finden Sie schnell mit dem ggT- und kgV-Rechner.

Periodische Dezimalzahlen erkennen: Reste wiederholen sich

Bei der schriftlichen Division von 1 durch 6 entstehen diese Schritte:

• 1 : 6 = 0 Rest 1
• 10 : 6 = 1 Rest 4
• 40 : 6 = 6 Rest 4, der Rest 4 kam schon vor

Sobald ein Rest zum zweiten Mal auftaucht, wiederholen sich ab dort auch die Ziffern. Bei 1/6 ergibt sich 0,1(6): Die 1 ist die Vorperiode, die 6 die Periode. Weil es bei Nenner n nur n − 1 mögliche Reste ungleich null gibt, ist die Periode höchstens n − 1 Stellen lang. Der Rechner nutzt genau dieses Verfahren und findet so auch die sechzehnstellige Periode von 1/17.

Ob die Periode direkt hinter dem Komma beginnt, hängt wieder am Nenner. Enthält er keine 2 und keine 5, ist die Zahl rein periodisch (1/3, 1/7, 1/11). Enthält er sie neben anderen Faktoren, gibt es eine Vorperiode (1/6, 1/12, 1/14).

Eine Besonderheit zeigen die Siebtel. 1/7 = 0,(142857) und 3/7 = 0,(428571) bestehen aus denselben sechs Ziffern, nur an einer anderen Stelle begonnen. Das liegt daran, dass die schriftliche Division bei allen Siebteln dieselbe Kette von Resten durchläuft und lediglich an einem anderen Rest einsteigt. Auch 22/7 = 3,(142857), der bekannte Näherungswert für π, trägt deshalb dieselbe Periode. Ein Taschenrechner zeigt solche Perioden nicht an: Er schneidet nach zehn bis zwölf Stellen ab und rundet die letzte Ziffer, sodass 2/3 auf dem Display wie eine endliche Zahl aussieht.

Dezimalzahl in Bruch umwandeln: endliche Zahlen

Endliche Dezimalzahlen schreiben Sie als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner und kürzen anschließend. Die Zahl der Nachkommastellen bestimmt die Nullen.

Periodische Dezimalzahl in Bruch: der Trick mit der Zehnerpotenz

Bei periodischen Zahlen hilft eine Subtraktion, die die unendliche Periode verschwinden lässt. Am Beispiel 0,1(6):

• Setzen Sie x = 0,1(6)
• Verschieben Sie das Komma hinter die erste Periode: 100x = 16,6…
• Verschieben Sie es hinter die Vorperiode: 10x = 1,6…
• Subtrahieren, die Periode fällt weg: 90x = 15
• x = 15/90, gekürzt mit dem ggT 15 ergibt 1/6

Daraus ergeben sich feste Muster: Eine reine Periode mit einer Stelle steht über 9, mit zwei Stellen über 99. So ist 0,(27) = 27/99 = 3/11 und 0,(12) = 12/99 = 4/33. Mit Vorperiode kommt eine 0 dazu: 0,8(3) = 75/90 = 5/6, 0,58(3) = 525/900 = 7/12.

Praxisbeispiel: Zollmaße und Rezeptmengen umrechnen

Werkzeuge, Schrauben und Rohre werden oft in Bruchteilen eines Zolls angegeben. 3/8 Zoll sind 0,375 Zoll, 5/8 Zoll sind 0,625 Zoll; beide Nenner bestehen nur aus Zweien, deshalb brechen die Werte nach drei Stellen ab. In Rezepten dagegen stehen oft Drittel: 2/3 Tasse sind 0,(6) Tassen, hier hilft nur Runden auf 0,67.

Umgekehrt gibt ein Messgerät 0,625 an, und Sie suchen den passenden Bruch: 625/1.000, gekürzt mit dem ggT 125, ergibt 5/8. Wer mit den Brüchen weiterrechnen will, etwa zwei Maße addieren, nutzt den Bruchrechner.

Merkhilfe für Brüche und Dezimalzahlen

Einige Paare lohnen sich auswendig: Halbe, Viertel und Achtel (0,5, 0,25, 0,125), Fünftel als Vielfache von 0,2, Drittel als 0,(3) und 0,(6), Neuntel als Wiederholung des Zählers (2/9 = 0,(2)). Zur Plausibilität: Ein echter Bruch mit Zähler kleiner als Nenner liegt immer zwischen 0 und 1. Je größer der Nenner bei gleichem Zähler, desto kleiner die Dezimalzahl.

Typische Fehler beim Umrechnen von Bruch und Dezimalzahl

• Gerundete Werte als exakt behandelt: 0,33 oder 0,333 sind nicht 1/3, sondern 33/100 und 333/1.000.
• Ungekürzten Nenner bewertet: 6/15 hat zwar eine 3 im Nenner, gekürzt ist es aber 2/5 = 0,4 und damit endlich.
• Vorperiode übersehen: 0,1(6) mit der Formel für reine Perioden gerechnet ergibt 16/99, richtig ist 1/6.
• Punkte falsch gedeutet: 0,1666… meint, dass sich die letzte Ziffer wiederholt. Der Rechner liest drei Punkte genau so und liefert 1/6.
• Kehrwert gebildet: 1/4 ist 0,25, nicht 4. Immer Zähler durch Nenner teilen, nicht umgekehrt.