Periodische Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln: so geht es
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Setzen Sie die Zahl gleich x und multiplizieren Sie so mit Zehnerpotenzen, dass hinter dem Komma zweimal dieselbe Periode steht. Ziehen Sie beide Gleichungen voneinander ab, verschwindet die unendliche Periode. Übrig bleibt eine Gleichung mit ganzen Zahlen, die Sie nach x auflösen und anschließend mit dem größten gemeinsamen Teiler vollständig kürzen.
Dezimalzahl
0,16̅
0,1(6)
Bruch (gekürzt)
1/6
gemischt periodisch
Gemischte Zahl
1/6
Gerundet
0,1666666667
In Prozent
16,6667 %
Periode: 6 (1 Stellen)
Rechenweg
- Der gekürzte Nenner 6 enthält den Faktor 3 (nicht 2 oder 5), deshalb ist die Dezimalzahl periodisch mit 1 Stelle Vorperiode.
- Schriftliche Division:
- 1 : 6 = 0 Rest 1
- 10 : 6 = 1 Rest 4
- 40 : 6 = 6 Rest 4 → Rest 4 kam schon vor, ab hier wiederholen sich die Ziffern
- Ergebnis: 1/6 = 0,1(6) (Periode 6, Länge 1)
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Formel
Bei einer Vorperiode mit a Stellen und einer Periode mit b Stellen multiplizieren Sie einmal mit 10 hoch (a + b) und einmal mit 10 hoch a. Die Differenz der beiden Gleichungen enthält keine Periode mehr.
10^(a+b) · x − 10^a · x = ganze Zahl; x = ganze Zahl / (10^(a+b) − 10^a)
- a
- Anzahl der Stellen der Vorperiode, bei rein periodischen Zahlen 0
- b
- Länge der Periode
- x
- die gesuchte Zahl, am Ende als Bruch
Rechenbeispiel: 1/6 als Dezimalzahl und zurück
- 1
Bruch festlegen: Zähler und Nenner
= 1 durch 6
- 2
Schriftlich dividieren: 1 : 6 = 0 Rest 1, 10 : 6 = 1 Rest 4, 40 : 6 = 6 Rest 4, der Rest 4 wiederholt sich, also 0,1 mit der Periode 6
= Periodenlänge 1
- 3
Dezimalwert gerundet auf vier Stellen
= 0,1667
- 4
Rückweg: x = 0,1(6), mit 100 multipliziert ergibt 16,6…, mit 10 multipliziert ergibt 1,6…, Differenz 90x = 15, also x = 15/90
- 5
Mit dem ggT 15 kürzen: Zähler und Nenner
= 1 und 6
1/6 ist die gemischt periodische Dezimalzahl 0,1(6) mit einer Stelle Vorperiode und der einstelligen Periode 6, als Prozentwert gerundet 16,6667 Prozent. Der Rückweg über 100x minus 10x führt wieder genau auf 1/6.
Typische Fehler
errorBei gemischt periodischen Zahlen nur mit einer Zehnerpotenz gerechnet
Steht vor der Periode eine Vorperiode, reicht x mal 10 minus x nicht. Sie brauchen zwei verschobene Gleichungen, bei denen jeweils genau die Periode hinter dem Komma steht, bei 0,1(6) also 100x und 10x. Sonst bleibt ein Periodenrest übrig.
errorDen Bruch nach der Subtraktion nicht gekürzt
15/90 ist zwar richtig, aber nicht vollständig gekürzt. Teilen Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, hier 15. Erst dann ist das Ergebnis eindeutig und mit anderen Lösungen vergleichbar.
Warum die Subtraktion die Periode verschwinden lässt
Eine periodische Dezimalzahl hat unendlich viele Nachkommastellen, und mit unendlich vielen Ziffern lässt sich nicht direkt rechnen. Der Trick besteht darin, zwei Versionen derselben Zahl zu erzeugen, die hinter dem Komma exakt übereinstimmen. Multiplizieren Sie 0,1(6) mit 100, steht 16,666… da. Multiplizieren Sie mit 10, steht 1,666… da. Beide Zahlen haben hinter dem Komma dieselbe unendliche Folge von Sechsen. Ziehen Sie die kleinere von der größeren ab, heben sich diese Nachkommastellen vollständig auf, und es bleibt 15 übrig. Gleichzeitig ist die linke Seite 100x minus 10x, also 90x.
Welche Zehnerpotenzen Sie brauchen, lesen Sie an der Zahl ab. Die kleinere Potenz schiebt das Komma genau hinter die Vorperiode, die größere hinter das erste vollständige Auftreten der Periode. Bei einer rein periodischen Zahl ohne Vorperiode ist die kleinere Potenz 10 hoch 0, also 1, und Sie ziehen einfach x selbst ab. Daraus erklärt sich die bekannte Faustregel mit den Neunen im Nenner: 10 hoch b minus 1 ergibt immer eine Zahl aus b Neunen.
Am Nenner sehen, was herauskommt
Der Rückweg verrät auch etwas über den Hinweg. Ein vollständig gekürzter Bruch ergibt genau dann eine endliche Dezimalzahl, wenn sein Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 enthält. Bei 1/6 steckt neben der 2 auch die 3 im Nenner. Die 2 sorgt für die eine Stelle Vorperiode, die 3 für die Periode. Wer das einmal verstanden hat, kann bei jeder Aufgabe schon vor dem Dividieren sagen, ob eine Periode entsteht und ob sie direkt hinter dem Komma beginnt. Die Länge der Periode lässt sich so allerdings nicht ablesen. Sie ist höchstens um eins kleiner als der Nenner, bei 1/7 sind es sechs Stellen, bei 1/11 nur zwei. Hier hilft nur die schriftliche Division, bis sich ein Rest wiederholt, oder der Rechner, der genau das automatisch erledigt.