Bruchrechner — Brüche addieren, kürzen und umwandeln

Wie Brüche verrechnet werden

Bei Addition und Subtraktion müssen beide Brüche denselben Nenner haben. Der Rechner bringt sie über das Produkt der beiden Nenner auf einen gemeinsamen Wert, verrechnet die Zähler und kürzt danach. Das ist nicht immer der kleinste gemeinsame Nenner, führt aber nach dem Kürzen zum selben Ergebnis.

Multiplikation ist einfacher: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Die Division führt der Rechner auf die Multiplikation zurück, indem er den zweiten Bruch umkehrt. Ist dessen Zähler null, gibt es kein Ergebnis — durch null lässt sich nicht teilen.

Warum ganzzahlig gerechnet wird

Der entscheidende Punkt bei einem Bruchrechner ist, dass er nicht heimlich in Dezimalzahlen ausweicht. Ein Drittel plus ein Drittel plus ein Drittel muss exakt eins ergeben, nicht 0,9999. Sobald intern gerundet wird, häufen sich solche Fehler über mehrere Rechenschritte auf.

Deshalb bleibt die Rechnung hier vollständig im Bereich der ganzen Zahlen. Erst für die Anzeige als Dezimalzahl wird geteilt — das Ergebnis in Bruchform ist davon unberührt und immer exakt. Das ist auch der Grund, warum Brüche in der Mathematik überhaupt verwendet werden: Sie halten Verhältnisse fest, die sich dezimal nicht ausschreiben lassen.

Passende Rechner

• Prozentrechner
• Dreisatz-Rechner

Addieren braucht einen gemeinsamen Nenner

Brüche lassen sich nur addieren und subtrahieren, wenn die Nenner gleich sind. Ein Drittel plus ein Viertel wird über den Hauptnenner zwölf zu vier Zwölftel plus drei Zwölftel gleich sieben Zwölftel.

Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache. Das Produkt der Nenner funktioniert immer, führt aber zu unnötig großen Zahlen.

Multiplizieren ist einfacher als Addieren

Bei der Multiplikation werden Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert — kein gemeinsamer Nenner nötig.

Das überrascht regelmäßig, weil die Addition der scheinbar einfachere Vorgang ist. Bei Brüchen ist es umgekehrt.

Dividieren heißt mit dem Kehrwert multiplizieren

Geteilt durch einen Bruch bedeutet, mit dem umgedrehten Bruch zu multiplizieren. Ein Halb geteilt durch ein Viertel ist ein Halb mal vier, also zwei.

Das Ergebnis wird dabei größer — was der Intuition widerspricht. Beim Teilen durch eine Zahl kleiner als eins wächst das Ergebnis immer.

Kürzen: nur Faktoren, nie Summanden

Gekürzt wird, indem Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl geteilt werden. Das ist nur bei Faktoren erlaubt, nicht bei Summanden.

Aus (a + b)/a wird nicht b — der Term a steht dort als Summand, nicht als Faktor. Dieser Fehler hat in der Mathematik den eigenen Namen „Differenzen kürzen nur die Dummen”.

Gemischte Zahlen und unechte Brüche

2 ¾ ist eine gemischte Zahl, 11/4 der zugehörige unechte Bruch. Zum Rechnen wird immer in unechte Brüche umgewandelt.

Die Umwandlung: Ganzzahl mal Nenner plus Zähler ergibt den neuen Zähler. Aus 2 ¾ wird 2·4 + 3 = 11, also 11/4.

Brüche, Dezimalzahlen und Prozent

Ein Drittel ist 0,333… und damit periodisch — als Dezimalzahl nicht exakt darstellbar. Deshalb ist die Bruchdarstellung in der Mathematik oft die genauere.

Prozent ist nichts anderes als ein Bruch mit dem Nenner 100. 25 Prozent sind 25/100 und damit gekürzt ein Viertel. Wer das im Kopf hat, rechnet viele Prozentaufgaben schneller über Brüche.