Berechnung der Diagonalen: Rechteck, Quadrat, Quader, Würfel und Bildschirm

Jede Diagonale im Rechteck, Quadrat oder Quader ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks

Wer eine Diagonale berechnen will, braucht fast immer nur eine Formel: den Satz des Pythagoras. Die Diagonale eines Rechtecks teilt es in zwei rechtwinklige Dreiecke, deren Katheten die Seiten a und b sind. Die Diagonale selbst ist die Hypotenuse. Beim Quader wenden Sie denselben Satz zweimal hintereinander an. Das gilt für Tischplatten, Zimmerböden, Umzugskartons und Bildschirme gleichermaßen.

Was bedeutet Diagonale bei Vierecken und Körpern?

Das Wort kommt aus dem Griechischen und bedeutet sinngemäß durch die Winkel hindurch. Gemeint ist eine Strecke zwischen zwei Ecken, die nicht direkt nebeneinanderliegen. Ein Dreieck hat deshalb keine Diagonale, ein Viereck zwei, ein Fünfeck fünf. In Rechteck und Quadrat sind beide Diagonalen gleich lang und halbieren sich gegenseitig. Beim Quadrat stehen sie zusätzlich senkrecht aufeinander.

Bei Körpern gibt es zwei Arten. Die Flächendiagonale liegt auf einer Seitenfläche, die Raumdiagonale verläuft durch das Innere von einer Ecke zur gegenüberliegenden. Ein Quader hat vier gleich lange Raumdiagonalen.

Bei anderen Vierecken wie Raute, Parallelogramm oder Trapez sind die beiden Diagonalen in der Regel verschieden lang. Die Seitenlängen allein reichen dort nicht aus, Sie brauchen zusätzlich einen Winkel oder eine Höhe, und die Rechnung läuft über den Kosinussatz statt über Pythagoras. Der Rechner beschränkt sich deshalb auf die rechtwinkligen Formen Rechteck, Quadrat, Quader und Würfel sowie auf Bildschirme, bei denen das Seitenverhältnis die fehlende Angabe liefert.

Berechnung der Diagonale im Rechteck mit d = √(a² + b²)

Für ein Rechteck mit den Seiten a = 4 cm und b = 3 cm rechnen Sie:

1. Beide Seiten quadrieren: 4² = 16 und 3² = 9.
2. Addieren: 16 + 9 = 25.
3. Wurzel ziehen: √25 = 5 cm.

Das Seitenpaar 3 und 4 mit der Diagonale 5 ist das bekannteste pythagoreische Tripel, ebenso 6, 8 und 10. Bei krummen Werten kommt eine Dezimalzahl heraus: Ein Rechteck mit 5 und 2 m hat eine Diagonale von 5,3852 m. Ein Blatt DIN A3 mit 420 mal 297 mm misst von Ecke zu Ecke 514,4 mm. Wer eine fehlende Seite statt der Diagonale sucht, stellt die Formel um oder nutzt den Pythagoras-Rechner.

Berechnung der Diagonalen im Quadrat mit dem Faktor √2

Beim Quadrat sind beide Katheten gleich lang. Aus d² = a² + a² = 2 · a² folgt d = a · √2, also Seitenlänge mal rund 1,4142. Diese Merkzahl lohnt sich: Die Diagonale eines Quadrats ist immer gut 41 Prozent länger als seine Seite.

Die Einheit bleibt dabei dieselbe wie bei der Seite. Ein quadratischer Raum mit 5 m Seitenlänge hat eine Diagonale von 7,0711 m, eine quadratische Fliese mit 50 cm Kantenlänge eine von 70,7107 cm. Die Fläche solcher Räume ermitteln Sie mit dem Flächenrechner.

Raumdiagonale berechnen bei Quader und Würfel

Die Raumdiagonale eines Quaders entsteht in zwei Schritten. Zuerst berechnen Sie die Diagonale der Grundfläche aus a und b. Diese steht senkrecht auf der Höhe c und bildet mit ihr wieder ein rechtwinkliges Dreieck. Zusammengefasst ergibt das d = √(a² + b² + c²).

Beispiel: Ein Quader mit 4, 3 und 12 cm hat eine Grundflächendiagonale von 5 cm und eine Raumdiagonale von √(16 + 9 + 144) = √169 = 13 cm. Ein Umzugskarton mit 60 mal 40 mal 30 cm hat eine Raumdiagonale von 78,1 cm. Das ist die längste gerade Stange, die gerade noch hineinpasst, während die längste Flächendiagonale nur 72,1 cm beträgt.

Beim Würfel sind alle Kanten gleich, die Formel vereinfacht sich zu d = a · √3. Ein Würfel mit 10 cm Kantenlänge hat eine Flächendiagonale von 14,1421 cm und eine Raumdiagonale von 17,3205 cm.

Bildschirmdiagonale berechnen: Zoll in cm mit Breite und Höhe

Bildschirme werden nach ihrer Diagonale in Zoll verkauft, gemessen an der sichtbaren Bildfläche. Ein Zoll sind 2,54 cm, die Umrechnung einzelner Werte erledigt auch der Zoll-in-cm-Rechner. Breite und Höhe folgen aus dem Seitenverhältnis. Bei 16:9 ist die Breite das 16-Fache und die Höhe das 9-Fache eines gemeinsamen Faktors k, und aus d² = (16² + 9²) · k² = 337 · k² ergibt sich k.

Die Werte gelten für die Bildfläche, das Gehäuse kommt je nach Modell noch hinzu. Wichtig für Stellplatz und Wandhalterung: Ein 65-Zoll-Fernseher hat zwar nur gut ein Fünftel mehr Diagonale als ein 55-Zoll-Gerät, aber rund 40 Prozent mehr Bildfläche, weil die Fläche mit dem Quadrat der Diagonale wächst.

Das Seitenverhältnis macht bei gleicher Zoll-Zahl einen großen Unterschied. Ein 27-Zoll-Monitor ist bei 16:9 59,8 cm breit, im Ultrawide-Format 21:9 63,0 cm breit und nur 27,0 cm hoch, im alten 4:3-Format 54,9 cm breit und 41,1 cm hoch.

Plausibilitätsprüfung: liegt Ihre Diagonale im richtigen Bereich?

Zwei einfache Grenzen helfen beim Kopfrechnen. Die Diagonale ist länger als die längste Seite und kürzer als die Summe der beiden Seiten. Bei einem Rechteck mit 5 und 2 m muss sie also zwischen 5 und 7 m liegen. Sind beide Seiten etwa gleich lang, liegt sie nahe bei längster Seite mal 1,41, ist eine Seite viel länger als die andere, nur knapp über der längeren Seite.

Für Bildschirme gilt als Faustregel bei 16:9: Die Breite beträgt etwa 87 Prozent der Diagonale, die Höhe knapp die Hälfte. Ein 55-Zoll-Gerät mit 139,7 cm Diagonale ist also gut 120 cm breit.

Typische Fehler bei der Berechnung einer Diagonalen

• Die Wurzel wird vergessen und a² + b² als Ergebnis angegeben. Bei 4 und 3 cm käme dann 25 statt 5 heraus.
• Die Seiten werden vor dem Quadrieren addiert: (4 + 3)² = 49 ist nicht dasselbe wie 4² + 3² = 25.
• Die Einheiten werden gemischt, etwa Meter und Zentimeter in einer Formel. Hier hilft der Längenrechner.
• Beim Quader wird nur die Flächendiagonale berechnet, obwohl die Raumdiagonale gefragt ist.
• Beim Bildschirm wird der Rahmen mitgemessen. Die Zoll-Angabe bezieht sich immer auf die sichtbare Bildfläche.