Dreiecksrechner — Seiten, Fläche, Umfang und Winkel berechnen

So nutzen Sie den Dreiecksrechner

Wählen Sie zuerst die Dreiecksart. Beim rechtwinkligen Dreieck geben Sie die beiden Katheten a und b ein — der Rechner bestimmt daraus Hypotenuse, Fläche, Höhe und alle Winkel. Beim gleichseitigen Dreieck genügt eine Seitenlänge, denn alle Seiten und Winkel (je 60°) sind gleich. Beim allgemeinen Dreieck geben Sie alle drei Seiten an; der Rechner prüft die Dreiecksungleichung und rechnet mit der Formel von Heron und dem Kosinussatz.

Alle Ausgaben — Fläche, Umfang, fehlende Seite, Höhe und die drei Innenwinkel — erscheinen sofort und aktualisieren sich bei jeder Eingabe.

Die verwendeten Formeln

• Rechtwinklig: Hypotenuse c = √(a² + b²), Fläche A = ½ · a · b, Winkel über den Arkustangens. Beispiel: a = 3, b = 4 → c = 5, A = 6.
• Gleichseitig: Höhe h = (√3 / 2) · a, Fläche A = (√3 / 4) · a², Umfang 3 · a. Beispiel: a = 2 → A ≈ 1,73, U = 6.
• Allgemein (drei Seiten): halber Umfang s = (a + b + c) / 2, Fläche nach Heron A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), Winkel per Kosinussatz. Beispiel: 3, 4, 5 → A = 6, γ = 90°.

Die Winkelsumme beträgt in jedem Dreieck 180 Grad — eine schnelle Plausibilitätskontrolle für jedes Ergebnis.

Typische Anwendungsfälle

Im Bau- und Heimwerkerbereich sind Dreiecke allgegenwärtig: Dachschrägen und Giebel (rechtwinklige Dreiecke aus Höhe und Grundlinie), Streben und Aussteifungen (Hypotenuse als Verbindungslänge), Rampen (Steigungsdreieck) oder das Prüfen rechter Winkel beim Abstecken von Beeten und Fundamenten mit dem 3-4-5-Trick.

Das allgemeine Dreieck mit drei Seiten braucht man immer dann, wenn Winkel schwer messbar sind, Strecken aber leicht: drei gemessene Kanten eines Grundstückszipfels genügen, und Fläche samt Winkeln liegen vor.

Eine ausführliche Herleitung mit Rechenbeispiel und typischen Fehlern finden Sie im Ratgeber zum Dreiecksrechner.

Passende Rechner

• Pythagoras Rechner
• Flächenrechner
• Steigungsrechner

Die Flächenformel und ihre Voraussetzung

Grundseite mal Höhe durch zwei — vorausgesetzt, die Höhe ist bekannt. Sie steht senkrecht auf der Grundseite, nicht schräg entlang einer Seite.

Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt der Höhenfußpunkt außerhalb der Grundseite. Die Formel gilt trotzdem, nur muss die Höhe dann über die Verlängerung gemessen werden.

Wenn nur die drei Seiten bekannt sind

Dann hilft die Formel von Heron: Aus dem halben Umfang s ergibt sich die Fläche als √(s(s−a)(s−b)(s−c)).

Sie ist der übliche Weg bei vermessenen Dreiecken, wo Seitenlängen gemessen werden können, Höhen aber nicht. Ein Nebeneffekt: Ergibt sich unter der Wurzel ein negativer Wert, existiert das Dreieck nicht — die Seiten passen nicht zusammen.

Die Dreiecksungleichung

Jede Seite muss kürzer sein als die Summe der beiden anderen. Ist das verletzt, gibt es kein Dreieck.

Das ist der schnellste Plausibilitätstest bei drei gegebenen Längen. Bei 3, 4 und 8 Zentimetern lässt sich kein Dreieck bilden, weil 3 plus 4 kleiner als 8 ist.

Sinussatz und Kosinussatz

Der Sinussatz verknüpft Seiten mit den gegenüberliegenden Winkeln und hilft, wenn zwei Winkel und eine Seite bekannt sind.

Der Kosinussatz ist die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras auf beliebige Dreiecke: c² = a² + b² − 2ab·cos γ. Für γ gleich 90 Grad wird der letzte Term null, und es bleibt der Pythagoras.

Die Winkelsumme als Kontrolle

In jedem ebenen Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel exakt 180 Grad. Das ist die einfachste Kontrolle für jede Winkelrechnung.

Auf gekrümmten Flächen gilt das nicht — auf einer Kugel liegt die Summe über 180 Grad. Für die Landvermessung über große Distanzen ist das relevant, für alltägliche Rechnungen nicht.

Besondere Dreiecke

Im gleichseitigen Dreieck ist jeder Winkel 60 Grad, die Fläche beträgt (√3/4)·a². Im rechtwinkligen gilt der Satz des Pythagoras, und die Fläche ist das halbe Produkt der beiden Katheten.

Beim gleichschenkligen Dreieck liegt die Höhe auf der Basis genau in der Mitte — das vereinfacht jede Rechnung erheblich.