Durchschnitt berechnen — Mittelwert, Median und Spannweite verstehen
Der Durchschnitt oder arithmetische Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Er beschreibt die Zahlenreihe mit einem einzigen Wert, reagiert aber empfindlich auf Ausreißer. Der Median, also der mittlere Wert der sortierten Reihe, ist in solchen Fällen oft die robustere Kennzahl.
Trennen Sie die Werte mit Komma, Leerzeichen oder Zeilenumbruch. Dezimalkomma wird erkannt.
Mittelwert
6,75
Median
6,5
Summe
27
Anzahl
4
Minimum
2
Maximum
12
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Formel
Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl der Werte. Der Median ist der Wert, der in der Mitte steht, wenn man alle Werte der Größe nach sortiert.
x̄ = Summe aller Werte / n
- n
- Anzahl der Werte
- x̄
- arithmetischer Mittelwert
Rechenbeispiel: Zahlenreihe 2, 4 und 9
- 1
Werte eingeben: 2, 4, 9 — Anzahl der Werte
= 3
- 2
Summe bilden: 2 plus 4 plus 9
= 15
- 3
Mittelwert: Summe geteilt durch Anzahl
= 5
- 4
Median: mittlerer Wert der sortierten Reihe, kleinster und größter Wert
= Median 4, Minimum 2, Maximum 9
Mittelwert 5 und Median 4 liegen hier dicht beieinander, weil die Reihe kurz ist und keinen starken Ausreißer enthält.
Typische Fehler
errorMittelwert trotz starker Ausreißer verwendet
Ein einzelner sehr hoher oder sehr niedriger Wert zieht den Mittelwert deutlich in seine Richtung. Bei Einkommen, Mieten oder Immobilienpreisen ist der Median deshalb aussagekräftiger, weil er sich an der Position und nicht an der Höhe der Werte orientiert.
errorDurchschnitt von Durchschnitten gebildet
Zwei Mittelwerte lassen sich nicht einfach noch einmal mitteln, wenn die zugrunde liegenden Gruppen unterschiedlich groß sind. Rechnen Sie stattdessen mit den Einzelwerten oder gewichten Sie die Mittelwerte mit der jeweiligen Anzahl der Werte.
errorFehlende Werte als Null gezählt
Eine leere Messung ist etwas anderes als eine Messung mit dem Ergebnis null. Wer Lücken als Nullen einträgt, senkt den Mittelwert künstlich. Lassen Sie fehlende Werte weg und verringern Sie entsprechend die Anzahl, durch die Sie teilen.
Ein Wert für viele Zahlen
Der Durchschnitt ist die vermutlich meistgenutzte statistische Kennzahl überhaupt. Er verdichtet eine Reihe von Zahlen auf einen einzigen Wert und macht sie damit vergleichbar: der Notendurchschnitt eines Zeugnisses, der Verbrauch eines Autos, die monatliche Stromrechnung über ein Jahr hinweg. Der Rechner gibt neben dem Mittelwert auch Summe, Anzahl, Median sowie kleinsten und größten Wert aus.
Diese zusätzlichen Angaben sind kein Beiwerk. Erst im Zusammenspiel entsteht ein belastbares Bild. Der Mittelwert allein verrät nicht, ob die Werte dicht beieinanderliegen oder weit streuen, und er verrät auch nicht, ob ein einzelner Ausreißer das Ergebnis dominiert. Median und Spannweite liefern genau diese Zusatzinformation.
Mittelwert und Median auseinanderhalten
Der wichtigste Unterschied liegt in der Empfindlichkeit gegenüber Extremwerten. Der Mittelwert berücksichtigt die Höhe jedes einzelnen Werts, der Median nur seine Position in der sortierten Reihe. Verzehnfachen Sie den größten Wert einer Reihe, springt der Mittelwert deutlich nach oben — der Median bleibt, wo er war.
Wann welche Kennzahl passt, hängt von der Frage ab. Wenn Sie wissen wollen, wie viel insgesamt anfällt, etwa beim Jahresverbrauch aus Monatswerten, ist der Mittelwert richtig, denn er lässt sich mit der Anzahl zurück in die Summe verwandeln. Wenn Sie wissen wollen, was typisch ist, etwa bei Mieten in einem Stadtteil, ist der Median die ehrlichere Antwort.
Liegen beide Werte nah beieinander, ist die Verteilung einigermaßen symmetrisch. Klaffen sie auseinander, lohnt ein Blick auf die Rohdaten: Meist steckt dann ein Ausreißer dahinter, der entweder ein Messfehler ist oder eine eigene Erklärung verdient.