Ellipsenrechner — Fläche und Umfang berechnen

So nutzen Sie den Ellipsenrechner

Geben Sie die beiden Halbachsen a und b ein — die halben Längen entlang der beiden Symmetrieachsen. Der Rechner liefert daraus sofort die Fläche, den Umfang und die lineare Exzentrizität. Sind beide Halbachsen gleich, entspricht das Ergebnis einem Kreis; die Reihenfolge der Eingaben spielt keine Rolle, der Rechner ordnet große und kleine Halbachse selbst zu.

Die verwendeten Formeln

• Fläche: A = π · a · b — die natürliche Verallgemeinerung der Kreisfläche π · r². Bei a = 5 m und b = 3 m: rund 47,12 m².
• Umfang (Näherung nach Ramanujan): U ≈ π · (3 · (a + b) − √((3a + b) · (a + 3b))). Im Beispiel: rund 25,53 m. Die Abweichung vom exakten Wert liegt für alltägliche Achsverhältnisse weit unter einem Promille.
• Lineare Exzentrizität: e = √(a² − b²) — der Brennpunktabstand vom Mittelpunkt.

Dass der Umfang eine Näherung ist, liegt an der Mathematik selbst: Anders als beim Kreis existiert für den Ellipsenumfang keine geschlossene elementare Formel. Der Rechner kennzeichnet den Wert deshalb entsprechend.

Typische Anwendungsfälle

Ovale Formen tauchen überall dort auf, wo Kreise gestreckt werden: ovale Beete, Teiche und Rasenflächen im Garten (Fläche für Erde und Saatgut, Umfang für die Einfassung), ovale Ess- und Couchtische (Tischdecken, Glasplatten), Sportplatz-Innenflächen, ovale Fenster und Spiegel oder Zuschnitte im Messe- und Ladenbau.

Auch technisch hat die Ellipse Bedeutung: Ein schräg angeschnittenes Rohr hat einen elliptischen Querschnitt, und Planetenbahnen sind Ellipsen mit der Sonne in einem Brennpunkt — die Exzentrizität beschreibt dort, wie stark die Bahn vom Kreis abweicht.

Eine ausführliche Herleitung mit Rechenbeispiel und typischen Fehlern finden Sie im Ratgeber zum Ellipsenrechner.

Passende Rechner

• Kreisrechner
• Flächenrechner
• Kreisabschnittrechner

Halbachsen richtig bestimmen

Gemessen werden die beiden Durchmesser — der längste und der kürzeste. Die Halbachsen sind jeweils die Hälfte davon.

Der häufigste Fehler ist, den vollen Durchmesser in die Formel einzusetzen. Bei der Fläche führt das zum vierfachen Ergebnis.

Der liegende ovale Tank

Bei ovalen Tanks ist die Querschnittsfläche π mal a mal b, das Volumen diese Fläche mal Länge. Für den Füllstand gilt dasselbe Problem wie beim Kreis: Er ist nicht proportional zum Volumen.

Bei halber Höhe ist der Tank halb voll, bei einem Viertel der Höhe deutlich weniger als ein Viertel. Wer linear schätzt, überschätzt kleine Füllstände.

Ovale Lüftungskanäle

Flachovale Kanäle werden eingesetzt, wo die Bauhöhe begrenzt ist. Für den Volumenstrom zählt die Querschnittsfläche, für den Druckverlust zusätzlich der Umfang.

Achtung: Viele als „oval” bezeichnete Kanäle sind flachovale Formen aus zwei Halbkreisen und zwei Geraden — keine Ellipsen. Die Ellipsenformeln gelten dafür nicht.

Ovale Beete und Rasenflächen

Für die Fläche genügt π mal a mal b. Für die Einfassung brauchen Sie den Umfang, und dafür die Näherung nach Ramanujan.

Praktisch einfacher ist die Gärtnerkonstruktion: zwei Pflöcke in die Brennpunkte, eine Schnur der Länge 2a darum, mit gespannter Schnur herumfahren. Der Umfang lässt sich dann direkt mit dem Maßband abnehmen.

Schräg angeschnittene Rohre

Ein schräg abgesägter Zylinder hat eine elliptische Öffnung. Die kleine Halbachse entspricht dem Rohrradius, die große wächst mit dem Schnittwinkel.

Für Passstücke bei schrägen Durchführungen muss die Ellipse deshalb konstruiert werden — ein kreisrunder Ausschnitt passt nicht.

Zuschnitt und Schablone

Für den Zuschnitt einer Ellipse ist die Gärtnerkonstruktion auf Sperrholz die einfachste Methode. Die Brennpunkte liegen im Abstand √(a²−b²) vom Mittelpunkt auf der langen Achse.

Elektronische Konstruktionen über Punktreihen sind genauer, aber für Holz- und Gartenarbeiten selten nötig.