Umfang einer Ellipse berechnen — Formel, Näherung und Rechner

Ellipse berechnen — Fläche, Umfang und Exzentrizität

Eine Ellipse ist eine gedehnte Kreisform, festgelegt durch zwei Halbachsen: die große Halbachse a und die kleine Halbachse b. Beide werden vom Mittelpunkt bis zum Rand gemessen, jeweils entlang einer der beiden Symmetrieachsen. Sind a und b gleich groß, wird aus der Ellipse ein Kreis. Aus diesen beiden Werten leitet der Ellipsenrechner alle wichtigen Größen ab.

Die Fläche ist unkompliziert: Sie ist Pi mal große Halbachse mal kleine Halbachse, also A = π · a · b. Für a = 5 m und b = 3 m ergibt das rund 47,12 m². Diese Formel ist exakt und eine direkte Verallgemeinerung der Kreisfläche — beim Kreis sind a und b identisch und die Formel geht in π · r² über.

Beim Umfang ist die Lage grundlegend anders. Anders als beim Kreis gibt es für den Umfang einer Ellipse keine exakte elementare Formel. Der wahre Wert steckt in einem sogenannten elliptischen Integral, das sich nicht in geschlossener Form mit den üblichen Rechenoperationen ausdrücken lässt. Deshalb greift der Rechner auf die berühmte Näherung des Mathematikers Srinivasa Ramanujan zurück: U ≈ π · (3·(a+b) − √((3a+b)·(a+3b))). Das Ergebnis ist eine sehr genaue Annäherung, aber ausdrücklich kein exakter Wert. Für unser Beispiel mit a = 5 m und b = 3 m liefert die Näherung etwa 25,53 m.

Wie zuverlässig ist das? Für praktisch alle Ellipsen, die im Alltag, im Handwerk oder in der Technik vorkommen, liegt die Abweichung der Ramanujan-Näherung weit unter einem Promille — sie ist damit genauer als jede Messung, die man von Hand vornehmen könnte. Erst bei extrem lang gestreckten, fast strichförmigen Ellipsen wird die Abweichung überhaupt spürbar. Für den Materialbedarf einer ovalen Fläche, die Randlänge eines elliptischen Beets oder die Umrandung einer ovalen Tischplatte ist die Näherung mehr als ausreichend.

Zusätzlich gibt der Rechner die lineare Exzentrizität aus. Sie beschreibt, wie stark die Ellipse von der Kreisform abweicht, und entspricht dem Abstand vom Mittelpunkt zu einem der beiden Brennpunkte. Berechnet wird sie als Wurzel aus der Differenz der Quadrate von großer und kleiner Halbachse. Je größer der Unterschied zwischen a und b, desto größer die Exzentrizität; bei einem Kreis ist sie null. Wer nur mit runden statt ovalen Formen rechnet, ist mit dem Kreisrechner besser bedient, und für zusammengesetzte oder eckige Flächen hilft der Flächenrechner.

Die Fläche ist einfach — der Umfang nicht

Für die Fläche gilt A = π·a·b mit den beiden Halbachsen a und b. Das ist die Kreisformel, bei der ein Radius durch zwei verschiedene Halbachsen ersetzt wurde. Für a = b ergibt sich wieder πr².

Beim Umfang endet die Einfachheit. Es gibt keine geschlossene Formel aus elementaren Funktionen. Das Umfangsintegral einer Ellipse führt auf ein elliptisches Integral, das sich nicht elementar lösen lässt — es ist sogar namensgebend für diese ganze Funktionenklasse.

Die Ramanujan-Näherung

In der Praxis wird genähert. Die zweite Näherung von Ramanujan ist die gebräuchlichste:

U ≈ π·[3(a+b) − √((3a+b)(a+3b))]

Sie ist bemerkenswert genau: Bei mäßig exzentrischen Ellipsen liegt der Fehler weit unter einem Promille. Erst bei extrem langgestreckten Formen wird die Abweichung sichtbar.

Die oft genannte einfache Näherung U ≈ π·(a+b) ist dagegen nur für nahezu kreisförmige Ellipsen brauchbar und liegt sonst deutlich daneben.

Halbachsen, Brennpunkte, Exzentrizität

Die große Halbachse a und die kleine Halbachse b definieren die Ellipse vollständig. Die beiden Brennpunkte liegen auf der großen Achse im Abstand c = √(a² − b²) vom Mittelpunkt.

Die numerische Exzentrizität e = c/a beschreibt, wie stark die Ellipse vom Kreis abweicht: e = 0 ist der Kreis, Werte nahe 1 bedeuten eine langgestreckte Form. Die Erdbahn hat eine Exzentrizität von rund 0,017 — sie ist fast kreisrund, was den meisten Darstellungen im Schulbuch widerspricht.

Die Gärtnerkonstruktion

Die definierende Eigenschaft: Für jeden Punkt der Ellipse ist die Summe der Abstände zu beiden Brennpunkten konstant und gleich 2a.

Daraus folgt die praktische Konstruktion: zwei Pflöcke in die Brennpunkte, eine Schnur der Länge 2a darum, mit gespannter Schnur herumfahren. So werden ovale Beete angelegt — und so lässt sich jede Ellipse ohne Rechnung zeichnen.

Warum Ellipse und Oval nicht dasselbe sind

Umgangssprachlich meint „oval” jede längliche runde Form. Mathematisch ist die Ellipse dagegen exakt definiert.

Viele als oval bezeichnete Formen sind in Wirklichkeit aus Kreisbögen zusammengesetzt — etwa Sportbahnen, die aus zwei Geraden und zwei Halbkreisen bestehen. Für die gelten die Ellipsenformeln nicht, und der Unterschied fällt bei der Flächenberechnung sofort auf.

Ellipsen in der Praxis

Sie begegnen Ihnen häufiger als vermutet: als Querschnitt liegender Tanks, bei ovalen Lüftungskanälen, in Deckenspiegeln und Gewölben, als Grundriss von Rasenflächen — und als Bahnform von Planeten und Satelliten.

Bei Kanälen ist die Fläche entscheidend für den Volumenstrom, bei Tanks für das Fassungsvermögen, bei Beeten der Umfang für die Einfassung. Welche Größe Sie brauchen, hängt also am Anwendungsfall.

Ein schräg angeschnittener Zylinder ergibt eine Ellipse

Schneidet man einen Kreiszylinder schräg durch, ist die Schnittfläche exakt eine Ellipse — die kleine Halbachse entspricht dem Zylinderradius, die große wächst mit dem Schnittwinkel.

Das ist der Grund, warum ein schräg abgesägtes Rohr eine elliptische Öffnung hat und warum Passstücke für schräge Rohrdurchführungen elliptisch zugeschnitten werden müssen.