Extrempunkte berechnen: Hochpunkt und Tiefpunkt mit Ableitung und Rechenweg

Extrempunkte berechnen: f′(x) = 0 findet die Kandidaten, f″ entscheidet über Hoch oder Tief

An einem Hoch- oder Tiefpunkt hört der Graph kurz auf zu steigen oder zu fallen. Die Tangente liegt dort waagerecht, ihre Steigung ist null. Daraus folgt das ganze Verfahren: Man sucht die Stellen mit f′(x) = 0 und klärt anschließend, ob der Graph dort von oben kommt und wieder fällt oder von unten kommt und wieder steigt. Dieser zweite Schritt ist der eigentliche Kern jeder Extremwertaufgabe, denn eine waagerechte Tangente allein beweist noch keinen Extrempunkt.

Extremstellen berechnen mit der notwendigen Bedingung f′(x) = 0

Die notwendige Bedingung lautet f′(x) = 0. Ihre Lösungen heißen kritische Stellen. Da f′ bei Polynomen wieder ein Polynom ist, kommen dieselben Verfahren zum Einsatz wie beim Nullstellen berechnen: Umstellen, pq-Formel, Ausklammern oder Substitution. Bei x³ − 6x² + 9x + 1 ist f′(x) = 3x² − 12x + 9. Der Rechner teilt durch 3, erhält x² − 4x + 3 = 0 und mit der pq-Formel 2 ± √1, also x = 1 und x = 3. Wie diese Verfahren im Einzelnen funktionieren, zeigt der Nullstellen-Rechner.

Hochpunkt oder Tiefpunkt: das Vorzeichen der zweiten Ableitung

Die hinreichende Bedingung nutzt die Krümmung. Ist f″(x) < 0, krümmt sich der Graph nach rechts wie ein umgedrehtes U, die Stelle ist ein Hochpunkt. Ist f″(x) > 0, krümmt er sich nach links wie ein U, die Stelle ist ein Tiefpunkt. Für das Beispiel gilt f″(x) = 6x − 12. An der Stelle 1 ergibt das −6, also Hochpunkt. An der Stelle 3 ergibt es 6, also Tiefpunkt. Eingesetzt in f folgen H(1 | 5) und T(3 | 1).

Hochpunkt und Tiefpunkt berechnen: Ergebnisse für typische Funktionen

Die folgende Tabelle zeigt Funktionen, wie sie in Klausuren vorkommen, mit den Ergebnissen des Rechenkerns.

Hoch- und Tiefpunkte wechseln sich bei Polynomen immer ab. Zwischen zwei Hochpunkten liegt ein Tiefpunkt, wie bei x⁴ − 8x² + 3 gut zu sehen ist.

Vorzeichenwechsel von f′, wenn f″ an der Extremstelle null ist

Manchmal ist an der kritischen Stelle auch f″ null. Dann versagt die zweite Ableitung als Test, und der Rechner prüft das ursprüngliche Kriterium: das Vorzeichen von f′ links und rechts der Stelle. Wechselt es von plus nach minus, steigt der Graph erst und fällt dann, also Hochpunkt. Wechselt es von minus nach plus, Tiefpunkt. Bleibt es gleich, liegt ein Sattelpunkt vor.

Ein Sattelpunkt ist zugleich ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Die Krümmung solcher Stellen untersucht der Wendepunkt-Rechner.

Lokale Extrempunkte und Randwerte im Intervall

Der Rechner gibt lokale Extrempunkte aus. Das heißt: H(1 | 5) ist höher als alle Punkte in seiner Nähe, aber nicht unbedingt der höchste Punkt überhaupt. Schränkt eine Aufgabe den Definitionsbereich ein, etwa auf das Intervall von 0 bis 5, müssen Sie die Ränder selbst prüfen. Für x³ − 6x² + 9x + 1 gilt f(0) = 1 und f(5) = 21. Das globale Maximum liegt also am rechten Rand bei (5 | 21), das globale Minimum mit dem Wert 1 wird zweimal erreicht, am linken Rand und im Tiefpunkt T(3 | 1).

Extrempunkte von e-Funktionen und trigonometrischen Funktionen

Ist f′ kein Polynom, sucht der Rechner die Nullstellen der Ableitung numerisch in einem Intervall, standardmäßig von −10 bis 10. Die Glockenkurve e^(−x²) hat ihren Hochpunkt bei H(0 | 1). Bei x² · e^(−x) findet der Rechner T(0 | 0) und H(2 | 0,5413). Für sin(x) im Intervall von −4 bis 4 sind es T(−1,5708 | −1) und H(1,5708 | 1), also −π/2 und π/2. Die Ableitungen dieser Funktionen mit Produkt- und Kettenregel zeigt der Ableitungsrechner.

Praxisbeispiel Extrempunkte: das Gewinnmaximum

Ein Betrieb rechnet mit der Gewinnfunktion G(x) = −x³ + 4x² + 7x − 10, x in tausend Stück, G in tausend Euro. Der Rechner bildet G′(x) = −3x² + 8x + 7 und G″(x) = −6x + 8. Aus G′(x) = 0 folgen die Stellen −0,6943 und 3,3609. An der Stelle 3,3609 ist G″ negativ, dort liegt der Hochpunkt H(3,3609 | 20,7453). Der Tiefpunkt bei negativer Stückzahl spielt wirtschaftlich keine Rolle. Ergebnis: Bei rund 3.361 Stück erreicht der Gewinn sein Maximum von etwa 20.745 Euro. Die Grenzen der Gewinnzone, also die Nullstellen von G, liegen bei 1.000 und 5.000 Stück.

Plausibilitätsprüfung für Hoch- und Tiefpunkte

Drei Kontrollen kosten kaum Zeit. Erstens die Anzahl: Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n − 1 Extrempunkte. Zweitens die Reihenfolge: Auf einen Hochpunkt folgt bei Polynomen ein Tiefpunkt und umgekehrt, zwei Hochpunkte direkt nebeneinander deuten auf einen Rechenfehler. Drittens das Verhalten im Unendlichen: x³ − 6x² + 9x + 1 kommt von unten und geht nach oben, also muss der linke Extrempunkt der Hochpunkt sein. Wer zusätzlich den Wendepunkt kennt, kann prüfen, ob er bei kubischen Funktionen genau in der Mitte liegt, hier bei (2 | 3).

Typische Fehler beim Hochpunkt berechnen

Erstens wird der y-Wert mit f′ oder f″ berechnet statt mit f. Zweitens wird das Vorzeichen von f″ vertauscht: Negativ bedeutet Hochpunkt, nicht Tiefpunkt. Drittens wird bei f″ = 0 voreilig auf einen Sattelpunkt geschlossen, obwohl x⁴ zeigt, dass dort ein Tiefpunkt liegen kann. Viertens werden bei der Gleichung f′(x) = 0 Lösungen verloren, weil durch x geteilt statt ausgeklammert wurde. Fünftens wird ein lokaler Hochpunkt als größter Funktionswert angegeben, obwohl der Rand höher liegt.