Hochpunkt oder Tiefpunkt: Wie funktioniert die hinreichende Bedingung?
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Die hinreichende Bedingung entscheidet, ob eine Stelle mit f′(x) = 0 wirklich ein Extrempunkt ist. Ist f″ dort negativ, ist der Graph nach rechts gekrümmt und die Stelle ein Hochpunkt. Ist f″ positiv, liegt ein Tiefpunkt vor. Ist f″ null, prüfen Sie stattdessen, ob f′ das Vorzeichen wechselt.
Potenzen mit ^ schreiben (x^3), Mal-Punkt darf fehlen (6x). Erlaubt sind auch sin, cos, e^x, ln und sqrt.
Der Suchbereich gilt nur für Funktionen, deren erste Ableitung kein Polynom ist.
f′(x)
3x² − 12x + 9
f″(x)
6x − 12
Hoch- / Tiefpunkte
1 / 1
Hochpunkt
H(1 | 5)
Tiefpunkt
T(3 | 1)
Rechenweg
- f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1
- Ableitungen: f′(x) = 3x² − 12x + 9, f″(x) = 6x − 12
- Notwendige Bedingung: f′(x) = 0, also 3x² − 12x + 9 = 0
- Polynom 2. Grades in Normalform: f′(x) = 3x² − 12x + 9
- Durch 3 teilen (Normalform): x² − 4x + 3 = 0
- pq-Formel mit p = -4 und q = 3: x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q) = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± √1
- x₁ = 3, x₂ = 1
- Nullstellen: x = 1; x = 3
- Linearfaktorzerlegung: f′(x) = 3 · (x − 1) · (x − 3)
- Hinreichende Bedingung: f″(x) < 0 ⇒ Hochpunkt, f″(x) > 0 ⇒ Tiefpunkt (bei f″(x) = 0 wird der Vorzeichenwechsel von f′ geprüft).
- x = 1: f″(1) = -6 < 0 ⇒ Hochpunkt
- y-Wert: f(1) = 5 ⇒ H(1 | 5)
- x = 3: f″(3) = 6 > 0 ⇒ Tiefpunkt
- y-Wert: f(3) = 1 ⇒ T(3 | 1)
- Ergebnis: H(1 | 5), T(3 | 1)
Berechnet werden lokale Extrempunkte. Randextrema eines eingeschränkten Definitionsbereichs sind nicht enthalten.
Wendepunkte derselben Funktion: Wendepunkt-Rechner. Nullstellen: Nullstellen-Rechner.
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Formel
Notwendig ist, dass die erste Ableitung null ist. Hinreichend für einen Hochpunkt ist zusätzlich eine negative zweite Ableitung, für einen Tiefpunkt eine positive. Ist die zweite Ableitung null, entscheidet der Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung.
f′(x) = 0 und f″(x) < 0 ⇒ Hochpunkt; f′(x) = 0 und f″(x) > 0 ⇒ Tiefpunkt
- f′(x)
- erste Ableitung, ihre Nullstellen sind die Kandidaten
- f″(x)
- zweite Ableitung, ihr Vorzeichen gibt die Krümmung an
Rechenbeispiel: f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1
- 1
Notwendige Bedingung f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 0, durch 3 teilen und mit der pq-Formel lösen
= x = 1 und x = 3
- 2
Hinreichende Bedingung an der Stelle 1: f″(1) = 6 · 1 − 12 = −6, also negativ
= Hochpunkt bei x = 1
- 3
y-Wert: f(1) = 1 − 6 + 9 + 1
= H(1 | 5)
- 4
Hinreichende Bedingung an der Stelle 3: f″(3) = 18 − 12 = 6, also positiv; y-Wert f(3) = 27 − 54 + 27 + 1
= T(3 | 1)
- 5
Zusammenfassung der Kandidaten
= 2 Extrempunkte, 1 Hochpunkt und 1 Tiefpunkt
Beide Kandidaten bestehen die hinreichende Bedingung. Der Graph hat den Hochpunkt H(1 | 5) und den Tiefpunkt T(3 | 1), Sattelpunkte gibt es keine.
Typische Fehler
errorAus f″(x) = 0 geschlossen, dass kein Extrempunkt vorliegt
Die hinreichende Bedingung ist nur eine Abkürzung. Ist f″ null, sagt sie nichts aus. Bei x⁴ ist f″(0) = 0, trotzdem wechselt f′ = 4x³ von minus nach plus, und der Ursprung ist ein Tiefpunkt. Prüfen Sie in diesem Fall immer den Vorzeichenwechsel von f′.
errorHochpunkt und Tiefpunkt über das Vorzeichen vertauscht
Merken Sie sich die Krümmung: Negatives f″ bedeutet eine Rechtskurve wie bei einem Hügel, also Hochpunkt. Positives f″ bedeutet eine Linkskurve wie bei einer Mulde, also Tiefpunkt. Eine Skizze mit einem umgedrehten U neben dem Minuszeichen hilft beim Einprägen.
Was die hinreichende Bedingung für Hochpunkt und Tiefpunkt eigentlich prüft
Die notwendige Bedingung f′(x) = 0 sagt nur, dass die Tangente waagerecht liegt. Das gilt am Gipfel eines Hügels, am Boden einer Mulde und auf einer Terrasse am Hang. Die hinreichende Bedingung trennt diese drei Fälle über die Krümmung. Ein Hügel ist nach rechts gekrümmt, f″ ist negativ. Eine Mulde ist nach links gekrümmt, f″ ist positiv. Bei der Terrasse wechselt die Krümmung, und f″ ist an dieser Stelle null.
Daraus erklärt sich auch, warum der Test versagen kann. Ist f″ null, kann trotzdem ein Extrempunkt vorliegen, nur sehr flach. Bei x⁴ ist der Boden der Mulde so breit, dass die Krümmung genau an der tiefsten Stelle verschwindet. In solchen Fällen hilft die ursprüngliche Idee hinter allen Extrempunkten: Steigt der Graph links und fällt er rechts, ist es ein Hochpunkt. Fällt er links und steigt er rechts, ist es ein Tiefpunkt. Diese Information steckt im Vorzeichen von f′ knapp neben der Stelle.
Eine Vorzeichentabelle macht den Vorzeichenwechsel übersichtlich. Tragen Sie die Nullstellen von f′ auf einer Zahlengeraden ein und bestimmen Sie in jedem Abschnitt das Vorzeichen von f′, am einfachsten über die Linearfaktoren. Für f′(x) = 3 · (x − 1) · (x − 3) ist f′ links von 1 positiv, zwischen 1 und 3 negativ und rechts von 3 wieder positiv. Daraus lesen Sie Hochpunkt bei 1 und Tiefpunkt bei 3 ab, ganz ohne zweite Ableitung.
Lokale Extrempunkte sind außerdem nicht automatisch die größten oder kleinsten Funktionswerte. Ist der Definitionsbereich beschränkt, gehören die Randwerte in den Vergleich. Bei Polynomen ungeraden Grades auf ganz ℝ gibt es überhaupt kein globales Maximum oder Minimum. Bei einer nach unten geöffneten Parabel ist der Hochpunkt dagegen zugleich das globale Maximum, weil die Funktionswerte nach beiden Seiten unbegrenzt fallen.