Fünfeckrechner — Fläche, Umfang und Radien berechnen

So nutzen Sie den Fünfeckrechner

Ein regelmäßiges Fünfeck ist vollständig durch seine Seitenlänge a bestimmt: Alle fünf Seiten sind gleich lang, alle Innenwinkel betragen 108 Grad. Sobald Sie a eingeben, leitet der Rechner alle übrigen Werte daraus ab — Fläche, Umfang, Umkreisradius, Inkreisradius und Diagonale. Die Ergebnisse aktualisieren sich bei jeder Eingabe.

Die verwendeten Formeln

• Fläche: A = ¼ · √(5 · (5 + 2√5)) · a² — der Vorfaktor ist eine Konstante von rund 1,72. Bei a = 2 m: rund 6,88 m².
• Umfang: U = 5 · a. Bei a = 2 m: 10 m.
• Umkreisradius: r_u = a / (2 · sin 36°) ≈ 0,851 · a — bei a = 2 m rund 1,70 m.
• Inkreisradius: r_i = a / (2 · tan 36°) ≈ 0,688 · a — bei a = 2 m rund 1,38 m.
• Diagonale: d = a · (1 + √5) / 2 ≈ 1,618 · a — bei a = 2 m rund 3,24 m.

Der Winkel von 36 Grad ist der halbe Zentriwinkel: 360 Grad geteilt durch fünf Ecken ergibt 72 Grad, die Hälfte davon 36. Und im Diagonalen-Faktor steckt die vielleicht schönste Eigenschaft des Fünfecks: der Goldene Schnitt Φ.

Typische Anwendungsfälle

Fünfeckige Formen kommen im Garten- und Holzbau (Pavillons, Hochbeete, Gartenhäuser mit fünfeckigem Grundriss), im Modellbau, bei Pflastersteinen und Deko-Elementen sowie in der klassischen Geometrieaufgabe vor. Je nach Aufgabe zählt eine andere Größe: die Fläche für den Materialbedarf, der Umfang für Randleisten, der Umkreisradius fürs Einpassen in runde Öffnungen oder fürs Konstruieren mit dem Zirkel, der Inkreisradius für einbeschriebene Kreise.

Praktischer Kontrolltipp: Ein sauber gefertigtes regelmäßiges Fünfeck erkennt man daran, dass alle fünf Diagonalen gleich lang sind — jede exakt das 1,618-Fache der Seite.

Eine ausführliche Herleitung mit Rechenbeispiel und typischen Fehlern finden Sie im Ratgeber zum Fünfeckrechner.

Passende Rechner

• Sechseckrechner
• Flächenrechner
• Kreisrechner

Die Flächenformel und woher sie kommt

Für das regelmäßige Fünfeck gilt A = ¼·√(5·(5+2√5))·a² ≈ 1,7205·a².

Der sperrige Wurzelterm hat einen anschaulichen Hintergrund: Das Fünfeck zerfällt in fünf gleichschenklige Dreiecke mit einem Mittelpunktswinkel von 72 Grad. Deren Höhe führt über den Tangens von 36 Grad auf genau diesen Ausdruck.

Warum der Innenwinkel 108 Grad beträgt

Die Winkelsumme im n-Eck ist (n−2)·180 Grad, beim Fünfeck also 540 Grad. Verteilt auf fünf gleiche Ecken ergibt das 108 Grad je Innenwinkel.

Daraus folgt eine bekannte Besonderheit: Drei Fünfecke an einer Ecke ergeben 324 Grad, vier bereits 432. Es geht also nicht auf — regelmäßige Fünfecke parkettieren die Ebene nicht lückenlos. Wer einen Boden damit auslegen will, braucht Füllstücke.

Umkreis und Inkreis

Der Umkreisradius beträgt R = a / (2·sin 36°) ≈ 0,851·a, der Inkreisradius r = a / (2·tan 36°) ≈ 0,688·a.

Anders als beim Sechseck ist der Umkreisradius hier kleiner als die Seitenlänge. Wer die Sechseck-Regel R = a gedankenlos überträgt, liegt um rund 15 Prozent daneben.

Der Goldene Schnitt steckt im Fünfeck

Das Verhältnis von Diagonale zu Seite beträgt exakt den Goldenen Schnitt φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618.

Zeichnet man alle fünf Diagonalen ein, entsteht ein Pentagramm — und in dessen Mitte wieder ein kleineres regelmäßiges Fünfeck, im Verhältnis φ² verkleinert. Diese Selbstähnlichkeit ist der Grund für die anhaltende Faszination der Form.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Das regelmäßige Fünfeck lässt sich klassisch konstruieren — das wusste bereits Euklid. Möglich ist das, weil 5 eine Fermatsche Primzahl ist.

Für das Siebeneck gilt das nicht, es ist mit Zirkel und Lineal nicht konstruierbar. Das ist kein Mangel an Geschick, sondern seit Gauß bewiesen.

Vom Umfang oder von der Fläche zurückrechnen

Der Umfang ist U = 5·a, die Seitenlänge also schlicht U/5.

Aus der Fläche zurück: a = √(A / 1,7205). Diesen Weg brauchen Sie, wenn eine Fläche vorgegeben ist und die Zuschnittmaße gesucht sind — etwa bei Terrassenplatten oder Pavillondächern.

Regelmäßig oder unregelmäßig

Sämtliche Formeln setzen fünf gleich lange Seiten und fünf gleiche Winkel voraus. Ein Fünfeck mit ungleichen Seiten hat keine geschlossene Flächenformel.

Dort hilft die Zerlegung in drei Dreiecke oder die Gaußsche Trapezformel über die Eckkoordinaten. Prüfen Sie das vorab — bei Grundstücken und zugeschnittenen Bauteilen ist die Unregelmäßigkeit der Normalfall.