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Fünfeck berechnen — Fläche, Umfang und Diagonale mit Formel und Rechner

Die Fläche eines regelmäßigen Fünfecks berechnen Sie mit A = ¼ · √(5 · (5 + 2√5)) · a², den Umfang mit U = 5 · a. Die Diagonale ist das Produkt aus Seitenlänge und Goldenem Schnitt: d = a · (1 + √5) / 2, also rund 1,618 · a.

Fläche

6,88 m²

Umfang

10 m

Umkreisradius

1,7 m

Inkreisradius

1,38 m

Diagonale

3,24 m

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Formel

Die Fläche ist ein Viertel der Wurzel aus fünf mal der Summe aus fünf und zwei Wurzel fünf, multipliziert mit der Seitenlänge zum Quadrat. Der Umfang ist fünf mal die Seitenlänge. Die Diagonale ist die Seitenlänge mal dem Goldenen Schnitt, rund 1,618.

A = ¼ · √(5 · (5 + 2√5)) · a²

a
Seitenlänge des Fünfecks
A
Fläche
U
Umfang
d
Diagonale

Rechenbeispiel: Fünfeck mit Seitenlänge 2 m

  1. 1

    Seitenlänge festlegen: a = 2 m

  2. 2

    Umfang: U = 5 · 2

    = 10 m

  3. 3

    Fläche: A = ¼ · √(5 · (5 + 2√5)) · 2²

    = ≈ 6,88 m²

  4. 4

    Diagonale: d = 2 · (1 + √5) / 2

    = ≈ 3,24 m

Ein regelmäßiges Fünfeck mit 2 m Seitenlänge hat einen Umfang von 10 m, eine Fläche von rund 6,88 m² und eine Diagonale von rund 3,24 m — der Rechner liefert diese Werte für jede Seitenlänge sofort mit.

Typische Fehler

errorFünfeckfläche mit der Sechseckformel berechnet

Die bekannte Formel A = (3 · √3 / 2) · a² gilt nur für das Sechseck. Beim regelmäßigen Fünfeck lautet der Vorfaktor ¼ · √(5 · (5 + 2√5)), rund 1,720 — deutlich kleiner als die 2,598 des Sechsecks.

errorDiagonale mit dem Umkreisdurchmesser verwechselt

Die Diagonale verbindet zwei nicht benachbarte Ecken und beträgt a · (1 + √5) / 2, rund 1,618 · a. Der Umkreisdurchmesser läuft dagegen durch den Mittelpunkt und ist mit 2 · a / (2 · sin 36°), rund 1,701 · a, etwas länger — beim Fünfeck liegt keiner der Eckpunkte einem anderen genau gegenüber.

Fünfeck berechnen — worauf es ankommt

Ein regelmäßiges Fünfeck (Pentagon) ist wie das Sechseck vollständig durch seine Seitenlänge a bestimmt: Alle fünf Seiten sind gleich lang, alle Innenwinkel betragen 108 Grad. Aus dieser einen Angabe leitet der Fünfeckrechner Fläche, Umfang, Umkreisradius, Inkreisradius und die Länge der Diagonale ab.

Die Flächenformel A = ¼ · √(5 · (5 + 2√5)) · a² sieht sperrig aus, ist aber schnell eingeordnet: Der komplette Vorfaktor ist eine Konstante von rund 1,720. Wer überschlagen will, rechnet also einfach 1,72 mal Seitenlänge zum Quadrat. Zum Vergleich: Beim Sechseck liegt der Faktor bei rund 2,598 — ein Fünfeck mit gleicher Kantenlänge hat deutlich weniger Fläche, weil ihm eine Seite fehlt.

Eine Besonderheit des Fünfecks ist seine enge Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt. Das Verhältnis von Diagonale zu Seite beträgt exakt (1 + √5) / 2 ≈ 1,618 — genau die Goldene Zahl Φ. Die fünf Diagonalen bilden zusammen das bekannte Pentagramm. Für die Praxis heißt das: Die Diagonale ist immer rund 62 Prozent länger als die Seite, ohne dass man Winkelfunktionen bemühen muss.

Anders als beim Sechseck ist der Umkreisradius beim Fünfeck nicht gleich der Seitenlänge, sondern beträgt a / (2 · sin 36°), rund 0,851 · a. Der Inkreisradius — der Abstand vom Mittelpunkt zur Seitenmitte — liegt bei a / (2 · tan 36°), rund 0,688 · a. Der Winkel von 36 Grad ergibt sich aus dem halben Zentriwinkel: 360 Grad geteilt durch fünf Ecken sind 72 Grad, die Hälfte davon 36 Grad.

Typische Anwendungsfälle sind fünfeckige Pavillons und Gartenhäuser, Beete, Pflastersteine oder dekorative Elemente, bei denen Materialbedarf (Fläche), Randlänge (Umfang) oder die Passung in eine runde Öffnung (Umkreis) gefragt sind. Wichtig bleibt: Alle Formeln gelten nur für das regelmäßige Fünfeck — bei unregelmäßigen Fünfecken mit unterschiedlichen Seitenlängen führt kein Weg an der Zerlegung in Dreiecke vorbei.

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Häufige Fragen: Fünfeckrechner

Wie berechnet man die Fläche eines Fünfecks? expand_more
Bei einem regelmäßigen Fünfeck ist die Fläche A = ¼ · √(5 · (5 + 2√5)) · a², wobei a die Seitenlänge ist. Der Vorfaktor beträgt rund 1,720; bei a = 2 m ergibt das rund 6,88 m².
Wie lang ist die Diagonale eines regelmäßigen Fünfecks? expand_more
Die Diagonale ist d = a · (1 + √5) / 2, also die Seitenlänge multipliziert mit dem Goldenen Schnitt (rund 1,618). Bei einer Seitenlänge von 2 m sind das rund 3,24 m.
Was ist der Unterschied zwischen Umkreis und Inkreis beim Fünfeck? expand_more
Der Umkreisradius reicht vom Mittelpunkt bis zu einer Ecke und beträgt a / (2 · sin 36°), rund 0,851 · a. Der Inkreisradius reicht nur bis zur Seitenmitte und ist mit a / (2 · tan 36°), rund 0,688 · a, kleiner.
Welchen Innenwinkel hat ein regelmäßiges Fünfeck? expand_more
Jeder Innenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks beträgt 108 Grad. Die Winkelsumme eines Fünfecks ist 540 Grad, geteilt durch fünf gleiche Winkel ergibt das 108 Grad pro Ecke.

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