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kgV Rechner und ggT Rechner: euklidischer Algorithmus, Primfaktoren und Hauptnenner

Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik

Mit dem kgV Rechner sehen Sie sofort: Das kleinste gemeinsame Vielfache von 24 und 36 ist 72, der größte gemeinsame Teiler ist 12. Sie geben zwei bis fünf ganze Zahlen bis eine Billion ein. Der Rechner bestimmt den ggT mit dem euklidischen Algorithmus und zeigt jeden Divisionsschritt, berechnet daraus das kgV, kontrolliert beides über die Primfaktoren und liefert zum Schluss den gekürzten Bruch und den Hauptnenner mit den Erweiterungsfaktoren.

menu_book Ausführlicher Ratgeber: ggT- und kgV-Rechner erklärt

Zwei bis fünf ganze Zahlen ab 1, jeweils bis eine Billion.

ggT (größter gemeinsamer Teiler)

12

2^2 · 3

kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches)

72

2^3 · 3^2

Primfaktorzerlegung

  • 24 = 2^3 · 3
  • 36 = 2^2 · 3^2

Anwendung bei Brüchen

  • Kürzen: 24/36 = 2/3
  • Hauptnenner: 72
  • Nenner 24 erweitern mit 3
  • Nenner 36 erweitern mit 2

Rechenweg

  1. Euklidischer Algorithmus: Teile die größere durch die kleinere Zahl, rechne mit Divisor und Rest weiter, bis der Rest 0 ist. Der letzte Divisor ist der ggT.
  2. ggT(24, 36):
  3. 36 = 1 · 24 + 12
  4. 24 = 2 · 12 + 0
  5. → ggT(24, 36) = 12
  6. kgV(a, b) = a · b / ggT(a, b) = 24 · 36 / 12 = 72
  7. Kontrolle über Primfaktoren:
  8. 24 = 2^3 · 3
  9. 36 = 2^2 · 3^2
  10. ggT: gemeinsame Primfaktoren mit dem kleinsten Exponenten = 2^2 · 3 = 12
  11. kgV: alle Primfaktoren mit dem größten Exponenten = 2^3 · 3^2 = 72
  12. Bruch kürzen: 24/36, Zähler und Nenner durch 12 teilen = 2/3
  13. Hauptnenner = kgV = 72, Erweiterungsfaktoren: 24 · 3 = 72, 36 · 2 = 72

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ggT und kgV hängen zusammen: kgV(a, b) = a · b / ggT(a, b)

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) sind zwei Seiten derselben Frage: Was haben zwei Zahlen gemeinsam? Der ggT sammelt die gemeinsamen Bausteine, das kgV fasst alle Bausteine beider Zahlen zusammen. Für zwei Zahlen gilt deshalb die nützliche Beziehung ggT mal kgV gleich Produkt der Zahlen. Bei 24 und 36: 12 · 72 = 24 · 36. Wer den ggT kennt, hat das kgV also fast geschenkt.

Den ggT mit dem euklidischen Algorithmus berechnen

Der euklidische Algorithmus ist rund 2.300 Jahre alt und bis heute das schnellste Verfahren für den ggT. Sie teilen die größere Zahl mit Rest durch die kleinere, ersetzen dann die größere Zahl durch die kleinere und die kleinere durch den Rest. Das wiederholen Sie, bis der Rest 0 ist. Der letzte Divisor ist der ggT.

Für 24 und 36 reichen zwei Schritte:

  • 36 = 1 · 24 + 12
  • 24 = 2 · 12 + 0, der Rest ist 0, also ggT(24, 36) = 12

Spannender wird es mit dem klassischen Lehrbuchbeispiel 1.071 und 462:

SchrittDivision mit RestRest
11.071 = 2 · 462 + 147147
2462 = 3 · 147 + 2121
3147 = 7 · 21 + 00

Der ggT ist 21. Ohne Primfaktorzerlegung, ohne Teilerlisten, nur mit drei Divisionen. Genau deshalb rechnet auch der Rechner zuerst mit Euklid und nutzt die Primfaktoren nur zur Kontrolle.

Vom ggT zum kgV: der kgV Rechner in einem Schritt

Ist der ggT bekannt, folgt das kgV aus kgV = a · b / ggT. Für 1.071 und 462 ergibt sich 1.071 · 462 / 21 = 23.562. Bei mehr als zwei Zahlen arbeitet der Rechner paarweise: kgV(24, 36, 60) = kgV(kgV(24, 36), 60) = kgV(72, 60) = 360. Der ggT von drei Zahlen entsteht genauso: ggT(24, 36) = 12, dann ggT(12, 60) = 12.

Das kgV kann bei fünf großen Zahlen sehr groß werden. Der Rechner rechnet deshalb mit beliebig langen Ganzzahlen und gibt das kgV auch dann exakt aus, wenn es weit über den normalen Zahlenbereich eines Taschenrechners hinausgeht.

ggT und kgV häufiger Zahlenpaare

Die Tabelle zeigt typische Schulaufgaben mit ggT, kgV und dem gekürzten Bruch, den der Rechner bei zwei Zahlen gleich mitliefert.

ZahlenggTkgVBruch gekürzt
4 und 62124/6 = 2/3
6 und 82246/8 = 3/4
8 und 124248/12 = 2/3
9 und 123369/12 = 3/4
12 und 1863612/18 = 2/3
14 und 2174214/21 = 2/3
15 und 2056015/20 = 3/4
16 und 4088016/40 = 2/5
24 und 36127224/36 = 2/3
45 und 601518045/60 = 3/4
48 und 1801272048/180 = 4/15
13 und 171221bereits gekürzt

Kontrolle über Primfaktoren: kleinster und größter Exponent

Zur Probe zerlegt der Rechner jede Zahl in Primfaktoren. Für den ggT nimmt er nur die Primfaktoren, die in allen Zahlen vorkommen, jeweils mit dem kleinsten Exponenten. Für das kgV nimmt er jeden vorkommenden Primfaktor mit dem größten Exponenten.

ZahlPrimfaktoren
242³ · 3
362² · 3²
602² · 3 · 5
ggT(24, 36, 60)2² · 3 = 12
kgV(24, 36, 60)2³ · 3² · 5 = 360

Für große Zahlen ist dieser Weg mühsamer als Euklid, weil das Zerlegen selbst aufwendig ist. Wenn Sie eine einzelne Zahl gründlich untersuchen wollen, mit allen Teilern und der Teileranzahl, hilft der Primfaktorzerlegung-Rechner.

Hauptnenner finden: das kgV beim Addieren von Brüchen

Wer Brüche mit verschiedenen Nennern addiert, braucht einen gemeinsamen Nenner. Der kleinste ist das kgV der Nenner, der Hauptnenner. Bei 1/4 + 1/6 + 1/10 ist kgV(4, 6, 10) = 60. Der Rechner nennt die Erweiterungsfaktoren gleich mit: 4 · 15, 6 · 10 und 10 · 6 ergeben jeweils 60. Aus der Aufgabe wird 15/60 + 10/60 + 6/60.

Das einfache Produkt 4 · 6 · 10 = 240 funktioniert zwar auch, erzeugt aber unnötig große Zähler und ein Ergebnis, das Sie anschließend wieder kürzen müssen. Die Rechnung mit den Brüchen selbst übernimmt der Bruchrechner. Ob ein gekürzter Bruch als endliche oder periodische Dezimalzahl endet, zeigt der Bruch-Dezimal-Umrechner.

Praxisbeispiel: Wann treffen sich zwei Busse wieder?

Linie A fährt alle 12 Minuten, Linie B alle 18 Minuten, beide starten um 8:00 Uhr gleichzeitig. Die nächste gemeinsame Abfahrt liegt beim kgV: kgV(12, 18) = 36, also um 8:36 Uhr. Der Euklid-Weg dazu: 18 = 1 · 12 + 6, dann 12 = 2 · 6 + 0, der ggT ist 6, und 12 · 18 / 6 = 36.

Ein Beispiel für den ggT: Ein Bad misst 360 mal 480 Zentimeter und soll mit möglichst großen quadratischen Platten ohne Zuschnitt belegt werden. ggT(360, 480) = 120, es passen also Platten mit 120 Zentimetern Kantenlänge, drei in der einen und vier in der anderen Richtung.

Merkhilfe zur Plausibilität von ggT und kgV

Drei schnelle Prüfungen fangen die meisten Fehler ab. Der ggT teilt jede der Zahlen ohne Rest, ist also höchstens so groß wie die kleinste Zahl. Das kgV ist durch jede Zahl teilbar und mindestens so groß wie die größte. Und bei zwei Zahlen muss ggT mal kgV das Produkt ergeben: 6 · 36 = 12 · 18. Stimmt eine dieser Bedingungen nicht, steckt ein Rechenfehler im Ergebnis.

Typische Fehler bei ggT und kgV

  • ggT und kgV verwechselt: Beim Kürzen braucht man den ggT, beim gleichnamig Machen das kgV. Die Faustregel: Teiler machen Zahlen kleiner, Vielfache machen sie größer.
  • Produkt statt kgV: 12 · 18 = 216 ist ein gemeinsames Vielfaches, das kleinste ist aber 36.
  • Formel auf drei Zahlen angewendet: a · b · c / ggT(a, b, c) ergibt bei 4, 6 und 10 nicht 60, sondern 120. Rechnen Sie paarweise.
  • Euklid falsch fortgesetzt: Im nächsten Schritt wird durch den Rest geteilt, nicht durch den Quotienten.
  • Zu früh aufgehört: Wer 24/36 durch 2 kürzt und bei 12/18 stoppt, hat zwar gekürzt, aber nicht vollständig. Erst die Division durch den ggT 12 liefert 2/3.

ggT und kgV schneller finden: drei Abkürzungen

  1. 01 Rechnen Sie bei zwei Zahlen zuerst den ggT aus und teilen Sie dann das Produkt durch ihn. Bei 24 und 36 ergibt 24 · 36 / 12 sofort das kgV 72, ohne lange Vielfachen-Listen.
  2. 02 Nutzen Sie zum Kürzen den ggT und nicht irgendeinen gemeinsamen Teiler. Wer 24/36 nur durch 2 teilt, muss noch zweimal nachkürzen; durch 12 geteilt steht 2/3 in einem Schritt da.
  3. 03 Prüfen Sie vor dem Rechnen, ob eine Zahl die andere teilt. Bei 12 und 60 ist der ggT einfach 12 und das kgV 60, der Algorithmus endet nach einem Schritt.

Häufige Fragen zu größtem gemeinsamem Teiler und kleinstem gemeinsamem Vielfachen

Was ist der Unterschied zwischen ggT und kgV? expand_more
Der ggT ist die größte Zahl, die alle gegebenen Zahlen ohne Rest teilt. Das kgV ist die kleinste Zahl, die von allen gegebenen Zahlen ohne Rest geteilt wird. Der ggT ist deshalb nie größer als die kleinste Zahl, das kgV nie kleiner als die größte. Bei 24 und 36 liegen beide mit 12 und 72 genau so.
Wie berechne ich das kgV von drei Zahlen? expand_more
Bilden Sie zuerst das kgV der ersten beiden Zahlen und dann das kgV dieses Ergebnisses mit der dritten. Bei 24, 36 und 60 ergibt kgV(24, 36) = 72 und kgV(72, 60) = 360. Die Formel a · b / ggT gilt nur für zwei Zahlen gleichzeitig, für drei Zahlen müssen Sie sie schrittweise anwenden.
Was bedeutet teilerfremd? expand_more
Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr ggT 1 ist, sie also außer der 1 keinen gemeinsamen Teiler haben. Dann ist das kgV einfach das Produkt: kgV(13, 17) = 221 und kgV(21, 8) = 168. Teilerfremd heißt nicht, dass die Zahlen Primzahlen sein müssen, 21 und 8 sind beide zusammengesetzt.
Wofür brauche ich den ggT Rechner im Alltag? expand_more
Immer dann, wenn etwas in gleich große Teile ohne Rest zerlegt werden soll. Ein Raum von 360 mal 480 Zentimetern lässt sich mit quadratischen Platten von höchstens 120 Zentimetern Kantenlänge ohne Verschnitt auslegen, weil ggT(360, 480) = 120 ist. Auch beim Aufteilen von Gruppen oder Vorräten hilft der ggT.
Kann das kgV kleiner sein als das Produkt der Zahlen? expand_more
Ja, immer dann, wenn die Zahlen einen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben. Das Produkt 24 · 36 ist zwar ein gemeinsames Vielfaches, aber nicht das kleinste. Teilt man es durch den ggT 12, erhält man das kgV 72. Nur bei teilerfremden Zahlen sind Produkt und kgV gleich.
Warum endet der euklidische Algorithmus immer? expand_more
Weil der Rest bei jeder Division kleiner ist als der Divisor. Die Reste werden also in jedem Schritt echt kleiner, bleiben aber ganze Zahlen ab null. Spätestens nach endlich vielen Schritten erreicht der Rest 0, und der letzte Divisor ist der ggT. In der Praxis genügen auch bei großen Zahlen wenige Schritte.
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