Gleichung lösen Rechner: Gleichungen mit x Schritt für Schritt umstellen

Eine lineare Gleichung ist gelöst, sobald x allein auf einer Seite steht

Jede lineare Gleichung folgt demselben Ablauf. Sie bringen alle Terme auf eine Seite, fassen gleichartige Glieder zusammen, schieben die Zahl ohne x hinüber und teilen durch den Faktor vor x. Wichtig ist nur die eine Grundregel: Was Sie auf einer Seite tun, tun Sie auch auf der anderen. Dann bleibt die Gleichung wahr, und am Ende steht x = eine Zahl. Der Rechner zeigt diese Schritte mit den Umformungszeichen hinter dem senkrechten Strich, wie sie im Unterricht üblich sind.

Welche Umformungen beim Gleichung lösen erlaubt sind

Erlaubt sind Äquivalenzumformungen, also Rechenschritte, die an der Lösungsmenge nichts ändern:

Nicht erlaubt ist das Teilen durch null. Beim Multiplizieren mit einem Term, der x enthält, muss man ausschließen, dass dieser Term null wird. Der Rechner prüft das bei Gleichungen mit Bruch automatisch.

Gleichung mit x lösen: vier Beispiele mit vollständigem Rechenweg

Die folgenden Rechenwege stammen direkt aus dem Rechner.

Beispiel 1: 3x + 5 = 20. Alle Terme nach links: 3x + 5 − 20 = 0, zusammengefasst 3x − 15 = 0. Plus 15 ergibt 3x = 15, geteilt durch 3 ergibt x = 5. Probe: linke Seite 20, rechte Seite 20.

Beispiel 2: 5x − 3 = 2x + 12. Hier steht x auf beiden Seiten. Nach dem Zusammenfassen bleibt 3x − 15 = 0, also 3x = 15 und x = 5. Probe: beide Seiten ergeben 22.

Beispiel 3: 2(x − 4) = x + 7. Die Klammer wird ausmultipliziert, danach bleibt x − 15 = 0. Mit plus 15 folgt x = 15. Probe: linke Seite 22, rechte Seite 22.

Beispiel 4: 0,5x + 2 = 1,5x − 6. Dezimalzahlen ändern nichts am Verfahren. Zusammengefasst ergibt sich −x + 8 = 0, also −x = −8 und nach Teilen durch −1 das Ergebnis x = 8. Probe: beide Seiten ergeben 6.

Gleichungen mit Bruch und x im Nenner

Steht x nur im Zähler, etwa bei x/4 + 3 = 8, behandelt der Rechner den Bruch wie einen Faktor. Nach dem Zusammenfassen steht 0,25x − 5 = 0, also 0,25x = 5 und x = 20. Einfacher im Kopf geht es mit der Umkehrung: 3 abziehen ergibt x/4 = 5, mal 4 ergibt 20.

Steht x im Nenner, wie bei 12/x = 3, multipliziert der Rechner mit dem Hauptnenner x. Er erhält −3x + 12 = 0 und daraus x = 4. Anschließend prüft er, ob die Lösung den Nenner null macht. Wäre das so, schiede sie aus. Wer lieber mit Brüchen statt mit Dezimalzahlen rechnet, kann Zwischenergebnisse im Bruchrechner kürzen oder erweitern.

Wenn eine Gleichung keine oder unendlich viele Lösungen hat

Nicht jede Gleichung liefert genau eine Zahl. Bei 3(x + 2) = 3x + 6 heben sich die x-Terme auf, es bleibt 0 = 0. Diese Aussage ist immer wahr, jede Zahl ist eine Lösung. Bei 2x + 1 = 2x + 5 bleibt −4 = 0, ein Widerspruch, und die Lösungsmenge ist leer.

Quadratische Gleichungen und Gleichungssysteme im Gleichungsrechner

Taucht x² auf, erkennt der Rechner eine quadratische Gleichung und rechnet mit der abc-Formel. Für x² − 5x + 6 = 0 ermittelt er die Diskriminante 1 und die beiden Lösungen 3 und 2. Die ausführliche Darstellung mit pq-Formel und Scheitelpunkt finden Sie im Rechner für quadratische Gleichungen. Haben Sie zwei oder drei Unbekannte in mehreren Gleichungen, etwa x und y, brauchen Sie den Gleichungssystem-Rechner, der nach dem Gauß-Verfahren vorgeht.

Praxisbeispiel: Nettobetrag aus einer Gleichung berechnen

Eine Rechnung über 119 € enthält 19 % Umsatzsteuer. Gesucht ist der Nettobetrag x. Netto plus Steuer ergibt brutto, die Gleichung lautet also x + 0,19x = 119. Der Rechner fasst zusammen zu 1,19x − 119 = 0, addiert 119 und teilt durch 1,19: x = 119 / 1,19 = 100. Die Probe ergibt auf beiden Seiten 119, der Nettobetrag ist 100 €. Solche Anteilsaufgaben lassen sich oft auch direkt mit dem Prozentrechner lösen, die Gleichung zeigt aber, woher das Ergebnis kommt.

Plausibilitätsprüfung: Lösung einer Gleichung im Kopf kontrollieren

Die sicherste Kontrolle ist das Einsetzen. Setzen Sie die gefundene Zahl in die ursprüngliche Gleichung ein, nicht in eine umgeformte, und rechnen Sie beide Seiten getrennt aus. Bei 4x − 7 = 2x + 9 und x = 8 ergibt die linke Seite 25 und die rechte ebenfalls 25. Eine grobe Größenordnung erhalten Sie, indem Sie kleine Zahlen weglassen: Aus 3x + 5 = 20 wird ungefähr 3x = 20, x liegt also knapp unter 7. Der exakte Wert 5 passt dazu.

Typische Fehler beim Umstellen von Gleichungen

Am häufigsten geht ein Vorzeichen verloren, wenn eine Zahl die Seite wechselt. Aus 3x + 5 = 20 wird nicht 3x = 25, sondern 3x = 15. Zweitens wird bei Klammern nur der erste Summand multipliziert: 2(x − 4) ist 2x − 8, nicht 2x − 4. Drittens wird beim Teilen durch eine negative Zahl das Vorzeichen des Ergebnisses übersehen, bei −x = −8 ist x = 8. Viertens wird durch einen Term mit x geteilt, der null sein könnte, dabei gehen Lösungen verloren. Zuletzt wird die Probe vergessen, dabei kostet sie nur eine Zeile.