Wie löst man eine lineare Gleichung mit Äquivalenzumformungen?
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Eine lineare Gleichung lösen Sie, indem Sie auf beiden Seiten stets dieselbe Rechenoperation ausführen, bis x allein steht. Zuerst werden die Terme ohne x auf eine Seite gebracht, danach wird durch den Faktor vor x geteilt. Die Probe durch Einsetzen der Lösung in die Ausgangsgleichung zeigt, ob richtig gerechnet wurde.
Unbekannte x, Klammern, Brüche und Potenzen (x² oder x^2) sind erlaubt. Lineare und quadratische Gleichungen werden exakt gelöst, alle anderen numerisch.
Lösung
x = 5
Art der Gleichung
linear
Grad
1
Anzahl Lösungen
1
Rechenweg
- Gleichung: 3x + 5 = 20
- Alle Terme auf die linke Seite bringen: 3x + 5 − (20) = 0
- Zusammenfassen: 3 · x - 15 = 0
- 3·x − 15 = 0 | + 15
- 3·x = 15 | : 3
- x = 15 / 3 = 5
- Probe mit x = 5: linke Seite 20, rechte Seite 20
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Formel
Eine lineare Gleichung lässt sich immer in die Form a mal x plus b gleich c bringen. Die Lösung ist dann c minus b, geteilt durch a, sofern a nicht null ist.
a · x + b = c ergibt x = (c - b) / a
- a
- Faktor vor der Unbekannten x, darf nicht null sein
- b
- Summand ohne x auf der linken Seite
- c
- Wert auf der rechten Seite
Rechenbeispiel: 3x + 5 = 20 lösen
- 1
Art der Gleichung bestimmen: x kommt nur in der ersten Potenz vor, es handelt sich um eine lineare Gleichung
= Grad 1
- 2
Auf beiden Seiten 5 abziehen: aus 3x + 5 = 20 wird 3x = 15
- 3
Beide Seiten durch den Faktor 3 teilen: x = 15 / 3 = 5
= 1 Lösung
- 4
Probe: 3 · 5 + 5 ergibt 20, die linke Seite stimmt mit der rechten Seite 20 überein
= Probe bestanden
Die Gleichung 3x + 5 = 20 hat genau eine Lösung, x = 5. Zwei Umformungen genügen: erst den Summanden ohne x entfernen, dann durch den Faktor vor x teilen.
Typische Fehler
errorNur eine Seite der Gleichung umgeformt
Jede Umformung muss auf beiden Seiten gleichzeitig passieren, sonst ist die neue Gleichung nicht mehr gleichwertig zur alten. Schreiben Sie die Operation hinter einen senkrechten Strich, etwa „| − 5“, dann behalten Sie beide Seiten im Blick.
errorBeim Teilen durch einen Klammerausdruck nicht alle Summanden geteilt
Teilen Sie 6x + 9 = 21 durch 3, müssen beide Summanden links geteilt werden: 2x + 3 = 7. Wer nur 6x teilt und die 9 stehen lässt, verändert die Gleichung und kommt zu einem falschen Ergebnis.
errorMit einem Ausdruck multipliziert, der null werden kann
Multiplizieren oder teilen Sie nur mit Zahlen oder Termen, die sicher ungleich null sind. Sonst entstehen Scheinlösungen oder es gehen Lösungen verloren. Die Probe am Ende deckt solche Fehler zuverlässig auf.
Das Waagenprinzip hinter jeder Umformung
Eine Gleichung lässt sich wie eine Balkenwaage vorstellen, die im Gleichgewicht ist. Legen Sie auf eine Seite etwas dazu oder nehmen Sie etwas weg, kippt die Waage, solange Sie auf der anderen Seite nicht dasselbe tun. Genau dieses Prinzip steckt hinter den Äquivalenzumformungen. Jede erlaubte Operation hält das Gleichgewicht, und am Ende steht die Unbekannte allein auf einer Seite.
Die Reihenfolge der Schritte folgt einer einfachen Faustregel: Zuerst wird rückgängig gemacht, was am weitesten von x entfernt ist. In 3x + 5 = 20 wurde x zuerst mit 3 multipliziert und danach 5 addiert. Beim Lösen geht es rückwärts: erst 5 abziehen, dann durch 3 teilen. Stehen Klammern in der Gleichung, lösen Sie diese vorher auf. Kommt x auf beiden Seiten vor, sammeln Sie alle x-Terme auf einer Seite und alle Zahlen auf der anderen.
Von der Textaufgabe zur Gleichung
Die eigentliche Schwierigkeit liegt oft nicht im Rechnen, sondern im Aufstellen. Ein Beispiel aus dem Alltag: Ein Handwerker berechnet eine Anfahrtspauschale von 40 Euro und 55 Euro je Stunde. Die Rechnung beträgt 260 Euro. Mit x für die Stunden lautet die Gleichung 55x + 40 = 260. Zieht man 40 ab und teilt durch 55, ergeben sich 4 Stunden. Zur Kontrolle: 4 mal 55 Euro sind 220 Euro, zusammen mit der Pauschale also genau 260 Euro.
Hilfreich ist es, vor dem Rechnen die Einheit von x festzuhalten und am Ende zu prüfen, ob das Ergebnis zur Aufgabe passt. Eine negative Anzahl von Stunden oder ein Preis mit fünf Nachkommastellen deutet auf einen Fehler beim Aufstellen hin. Bei mehreren Unbekannten mit mehreren Bedingungen reicht eine einzelne Gleichung nicht mehr aus, dann braucht es ein Gleichungssystem. Taucht x im Quadrat auf, ist die Gleichung quadratisch und wird mit der pq- oder abc-Formel gelöst.