Lineares Gleichungssystem lösen: Gauß-Verfahren mit Rechenweg für 2×2 und 3×3

Lineares Gleichungssystem lösen heißt: Unbekannte nacheinander eliminieren

Ein lineares Gleichungssystem, kurz LGS, besteht aus mehreren Gleichungen, in denen die Unbekannten nur in der ersten Potenz vorkommen: kein x², kein x · y, kein 1/x. Gesucht sind Werte, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Jedes Lösungsverfahren folgt demselben Prinzip: Sie kombinieren die Gleichungen so, dass eine Unbekannte verschwindet, lösen die kleinere Aufgabe und setzen rückwärts ein.

Die Beispiele auf dieser Seite hat der Rechenkern des Rechners gelöst:

Was ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten bedeutet

Jede Gleichung mit x und y beschreibt eine Gerade im Koordinatensystem. 2x + 3y = 12 ist eine fallende Gerade, x − y = 1 eine steigende. Die Lösung des Systems ist der Schnittpunkt beider Geraden, hier der Punkt (3 | 2). Aus diesem Bild folgen die drei möglichen Fälle: Zwei Geraden schneiden sich in genau einem Punkt, sie liegen parallel und schneiden sich nie, oder sie liegen aufeinander und haben unendlich viele gemeinsame Punkte. Bei drei Unbekannten beschreibt jede Gleichung eine Ebene im Raum, die Lösung ist der gemeinsame Punkt aller drei Ebenen. Eine einzelne Gleichung mit einer Unbekannten lösen Sie dagegen mit dem Rechner für Gleichungen.

Gauß-Verfahren beim Gleichungssystem: Stufenform und Rückwärtseinsetzen

Der Gauß-Algorithmus ist das Verfahren, das der Rechner intern verwendet. Er zieht ein passendes Vielfaches der ersten Zeile von den übrigen Zeilen ab, sodass dort x verschwindet. Danach wiederholt er dasselbe mit der zweiten Zeile für y. Am Ende steht eine Stufenform, in der die letzte Zeile nur noch eine Unbekannte enthält.

Für das Beispiel 2x + 3y = 12 (I) und x − y = 1 (II) sieht der Rechenweg so aus:

1. II − 0,5 · I ergibt −2,5y = −5.
2. Stufenform: I bleibt 2x + 3y = 12, II lautet jetzt −2,5y = −5.
3. Aus II folgt y = −5 / −2,5 = 2.
4. Rückwärts einsetzen in I: x = (12 − 3 · 2) / 2 = 3.

Der Faktor 0,5 ergibt sich aus dem Verhältnis der x-Vorfaktoren: 1 geteilt durch 2. Der Vorteil des Gauß-Verfahrens ist, dass es für zwei, drei oder mehr Unbekannte immer gleich abläuft.

Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren im Vergleich

In der Schule lernen Sie für zwei Unbekannte meist drei Verfahren. Alle drei führen beim Beispiel 2x + 3y = 12 und x − y = 1 zum selben Ergebnis:

Das Einsetzungsverfahren lohnt sich, wenn eine Unbekannte schon fast allein steht. Das Gleichsetzungsverfahren passt, wenn beide Gleichungen leicht nach derselben Variablen aufzulösen sind. Das Additionsverfahren ist im Kern dasselbe wie Gauß, nur ohne festes Schema. Wer mit Brüchen als Vorfaktoren rechnet, kann Zwischenschritte mit dem Bruchrechner nachprüfen.

Gleichungssystem mit drei Unbekannten: ein 3×3-Beispiel nach Gauß

Das System x + y + z = 6 (I), 2x − y + z = 3 (II) und x + 2y − z = 2 (III) löst der Rechner in diesen Schritten:

1. Zeilen I und II tauschen, weil in II der größte x-Vorfaktor steht (Spaltenpivotsuche).
2. Die neue Zeile II minus 0,5 · I ergibt 1,5y + 0,5z = 4,5.
3. III − 0,5 · I ergibt 2,5y − 1,5z = 0,5.
4. Zeilen II und III tauschen, dann III − 0,6 · II ergibt 1,4z = 4,2.
5. Stufenform: 2x − y + z = 3, 2,5y − 1,5z = 0,5 und 1,4z = 4,2.
6. Rückwärts: z = 4,2 / 1,4 = 3, y = (0,5 + 1,5 · 3) / 2,5 = 2, x = (3 + 2 − 3) / 2 = 1.

Das Zeilentauschen ist kein Muss für die Handrechnung. Der Rechner macht es, weil große Divisoren Rundungsfehler klein halten. Auf dem Papier dürfen Sie jede Zeile mit einem von 0 verschiedenen Vorfaktoren vorn als Ausgangszeile nehmen.

Keine oder unendlich viele Lösungen: woran das LGS es verrät

Nicht jedes Gleichungssystem hat genau eine Lösung. Beim Gauß-Verfahren erkennen Sie die Sonderfälle an einer Zeile, in der links nur noch Nullen stehen:

• 0 = c mit c ungleich 0: Widerspruch, keine Lösung. Beispiel x + y = 4 und 2x + 2y = 10 führt zu 0 = −1.
• 0 = 0: Die Zeile sagt nichts Neues, eine Unbekannte bleibt frei wählbar. Beispiel x + y = 4 und 2x + 2y = 8.

Bei drei Unbekannten gilt dasselbe. x + y + z = 3, x + y + z = 5 und x − y + 2z = 4 hat keine Lösung, weil die ersten beiden Ebenen parallel sind. Ersetzt man die zweite Gleichung durch 2x + 2y + 2z = 6, hat das System unendlich viele Lösungen. In beiden Fällen ist die Determinante 0 und der Rang des Systems 2 statt 3.

Cramersche Regel und Determinante beim linearen Gleichungssystem

Die Determinante D der Vorfaktoren entscheidet vorab: Ist D ungleich 0, gibt es genau eine Lösung. Die Cramersche Regel liefert sie direkt. Für jede Unbekannte ersetzen Sie die zugehörige Spalte durch die rechte Seite und berechnen erneut die Determinante:

x = Dx / D, y = Dy / D

Im Beispiel 2x + 3y = 12 und x − y = 1 ist D = 2 · (−1) − 3 · 1 = −5, Dx = −15 und Dy = −10. Daraus folgt x = −15 / −5 = 3 und y = −10 / −5 = 2. Beim 3×3-Beispiel ist D = 7, Dx = 7, Dy = 14 und Dz = 21. Der Rechner nutzt die Regel als Kontrolle des Gauß-Ergebnisses. Von Hand lohnt sie sich bei 2×2-Systemen, bei 3×3 ist Gauß meist kürzer.

Gleichungssystem aus dem Alltag: Kaffee, Croissants und Tierbeine

Textaufgaben lassen sich fast immer in ein LGS übersetzen. Zwei Beispiele, beide vom Rechner gelöst:

Bäckerei: Drei Kaffee und zwei Croissants kosten 16 Euro, ein Kaffee und vier Croissants 12 Euro. Mit x für den Kaffee und y für das Croissant ergibt sich 3x + 2y = 16 und x + 4y = 12. Lösung: Ein Kaffee kostet 4 Euro, ein Croissant 2 Euro.

Bauernhof: Auf einem Hof leben Hühner und Kaninchen, zusammen 30 Tiere mit 100 Beinen. Mit x Hühnern und y Kaninchen gilt x + y = 30 und 2x + 4y = 100. Der Rechner liefert x = 10 und y = 20.

Wer nur eine Unbekannte und ein festes Verhältnis hat, braucht kein Gleichungssystem, dafür reicht der Dreisatzrechner.

Probe und Plausibilität beim LGS in zehn Sekunden

Die sicherste Kontrolle ist die Probe in allen Ausgangsgleichungen. Für x = 3 und y = 2 gilt 2 · 3 + 3 · 2 = 12 und 3 − 2 = 1, beide Gleichungen stimmen. Beim 3×3-Beispiel mit x = 1, y = 2, z = 3 prüfen Sie 1 + 2 + 3 = 6, 2 − 2 + 3 = 3 und 1 + 4 − 3 = 2.

Zwei schnelle Plausibilitätsprüfungen ohne Rechnen: Sind die linken Seiten zweier Gleichungen Vielfache voneinander, ist eine eindeutige Lösung ausgeschlossen. Und bei Textaufgaben muss das Ergebnis zur Wirklichkeit passen. Negative Tierzahlen oder ein Croissant für 20 Euro zeigen einen Übertragungsfehler beim Aufstellen, nicht beim Rechnen.

Typische Fehler beim Lösen von Gleichungssystemen

• Vorzeichen beim Abziehen: Wer II − I rechnet, muss jedes Glied von I abziehen, auch die rechte Seite. Ein vergessenes Minus bei einem negativen Vorfaktoren ist der häufigste Fehler.
• Nur eine Seite multipliziert: Beim Additionsverfahren gilt der Faktor für die ganze Gleichung, links und rechts.
• Probe nur in einer Gleichung: Eine falsche Lösung kann zufällig eine Gleichung erfüllen.
• Nichtlineare Terme übersehen: Steht x² oder x · y im System, ist es kein lineares Gleichungssystem mehr. Quadratische Gleichungen lösen Sie mit dem Rechner für quadratische Gleichungen.
• Fast parallele Geraden: Bei x + y = 1 und x + 1,0001y = 1 ist D nur 0,0001. Die Lösung x = 1, y = 0 stimmt, aber kleine Rundungen in den Vorfaktoren verschieben sie stark. Geben Sie solche Werte deshalb ungerundet ein.