Gleichungssystem mit zwei Unbekannten: der Schnittpunkt zweier Geraden
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten beschreibt zwei Geraden in der Ebene. Die Lösung ist ihr Schnittpunkt. Sie finden ihn, indem Sie eine Unbekannte eliminieren, etwa durch Addieren eines Vielfachen der einen Gleichung zur anderen, und die zweite Unbekannte durch Einsetzen bestimmen. Parallele Geraden ergeben keine Lösung, identische unendlich viele.
Lösung
x = 1, y = 2
eindeutige Lösung
Determinante D
-5
Dx (Cramer)
-5
Dy (Cramer)
-10
Rechenweg (Gauß-Verfahren)
- Ausgangssystem:
- I: 2·x + 3·y = 8
- II: x − y = -1
- II − 0,5 · I: −2,5·y = -5
- Stufenform:
- I: 2·x + 3·y = 8
- II: −2,5·y = -5
- Aus II: y = -5 / -2,5 = 2
- Rückwärts einsetzen in I: x = (8 − 3 · 2) / 2 = 1
- Cramersche Regel zur Kontrolle: D = -5, x = Dx / D = -5 / -5 = 1, y = Dy / D = -10 / -5 = 2
Derzeit ohne Vermittlung oder Angebotsstrecke
Diese Seite dient aktuell nur der Orientierung. rechnerportal.net vermittelt derzeit keine Anbieter und gibt keine individuelle Empfehlung ab.
Mehr Infos baldDirekt zum Tool: Gleichungssystem-Rechner öffnen
Formel
Aus zwei Gleichungen der Form a mal x plus b mal y gleich c wird eine Unbekannte entfernt, indem man ein passendes Vielfaches der ersten Gleichung von der zweiten abzieht. Die verbleibende Gleichung mit einer Unbekannten wird gelöst und das Ergebnis in die erste Gleichung eingesetzt.
I: a1 · x + b1 · y = c1; II: a2 · x + b2 · y = c2
- a1, b1, a2, b2
- Koeffizienten vor x und y in Gleichung I und II
- c1, c2
- rechte Seiten der beiden Gleichungen
- D
- Determinante a1 · b2 − a2 · b1, bei D ungleich null gibt es genau eine Lösung
Rechenbeispiel: 2x + 3y = 8 und x − y = −1
- 1
Größe des Systems feststellen: zwei Gleichungen mit den Unbekannten x und y
= 2 × 2
- 2
Gleichung II mit 3 multiplizieren und zu Gleichung I addieren, damit y verschwindet: 2x + 3x = 8 − 3 ergibt 5x = 5, also x = 1
- 3
x = 1 in Gleichung II einsetzen: 1 − y = −1 ergibt y = 2
- 4
Beide Gleichungen sind unabhängig voneinander, die Koeffizientenmatrix hat vollen Rang
= Rang 2
- 5
Probe in Gleichung I: 2 · 1 + 3 · 2 = 8, die Gleichung stimmt
Das System hat genau eine Lösung, x = 1 und y = 2. Geometrisch schneiden sich die Geraden y = −2/3 x + 8/3 und y = x + 1 im Punkt (1 | 2). Die Determinante −5 ist ungleich null und bestätigt die eindeutige Lösung.
Typische Fehler
errorBeim Multiplizieren nur die linke Seite verändert
Wer Gleichung II mit 3 multipliziert, muss auch die rechte Seite mit 3 multiplizieren. Aus x − y = −1 wird 3x − 3y = −3. Wird die −1 vergessen, verschiebt sich die Gerade und der berechnete Schnittpunkt ist falsch.
errorProbe nur in einer Gleichung gemacht
Setzen Sie die Lösung immer in beide Ausgangsgleichungen ein. Eine Lösung, die nur eine Gleichung erfüllt, liegt zwar auf einer der Geraden, aber nicht im Schnittpunkt. Erst wenn beide stimmen, ist das System wirklich gelöst.
Zwei Geraden, ein Schnittpunkt: die geometrische Sicht
Jede lineare Gleichung mit zwei Unbekannten beschreibt eine Gerade. Stellen Sie 2x + 3y = 8 nach y um, erhalten Sie y = −2/3 x + 8/3, eine fallende Gerade. Die zweite Gleichung x − y = −1 wird zu y = x + 1, einer steigenden Geraden. Alle Punkte, die eine Gleichung erfüllen, liegen auf ihrer Geraden. Ein Punkt, der beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt, muss daher auf beiden Geraden liegen, also im Schnittpunkt.
Aus diesem Bild folgen die drei möglichen Fälle ganz natürlich. Zwei Geraden mit unterschiedlicher Steigung schneiden sich in genau einem Punkt. Zwei parallele Geraden treffen sich nie, das System hat keine Lösung. Liegen beide Geraden aufeinander, ist jeder Punkt der Geraden eine Lösung. Die Determinante fasst diese Unterscheidung in eine Zahl: Ist sie ungleich null, sind die Steigungen verschieden und es gibt genau einen Schnittpunkt.
Vom Sachverhalt zum Gleichungssystem
Im Alltag entstehen Gleichungssysteme, sobald zwei Größen gleichzeitig gesucht sind und zwei Informationen vorliegen. Ein Beispiel: Im Hofladen kosten 2 Gläser Honig und 3 Gläser Marmelade zusammen 28 Euro, 1 Glas Honig und 1 Glas Marmelade zusammen 11 Euro. Mit x für Honig und y für Marmelade lauten die Gleichungen 2x + 3y = 28 und x + y = 11. Zieht man das Doppelte der zweiten Gleichung von der ersten ab, bleibt y = 6, und aus der zweiten Gleichung folgt x = 5.
Wichtig ist, dass die beiden Angaben wirklich neue Information enthalten. Heißt es im Text zusätzlich, dass 4 Gläser Honig und 6 Gläser Marmelade 56 Euro kosten, ist das nur die verdoppelte erste Gleichung. Sie hilft beim Lösen nicht weiter. Bei drei Unbekannten braucht es entsprechend drei unabhängige Angaben, und aus den Geraden werden Ebenen im Raum.