Integral online berechnen — Bestimmte Integrale mit Funktionsgraph

So bedienen Sie den Integralrechner online

1. Funktion eingeben — Tragen Sie die zu integrierende Funktion in das Eingabefeld ein. Verwenden Sie x als Variable. Beispiele: x^2, sin(x), exp(x), 1/x. Nutzen Sie die Schnellauswahl-Buttons für häufige Funktionen.

2. Integrationsgrenzen festlegen — Geben Sie die untere Grenze (a) und die obere Grenze (b) ein. Der Graph zeigt automatisch den relevanten Bereich und markiert die Fläche zwischen den Grenzen farbig.

3. Genauigkeit einstellen — Der Schieberegler bestimmt die Anzahl der Teilintervalle für die Simpson-Regel. Mehr Teilintervalle = genaueres Ergebnis, aber auch etwas mehr Rechenzeit. Für die meisten Funktionen reichen 200 Teilintervalle.

4. Ergebnis ablesen — Der Rechner zeigt den numerischen Wert des bestimmten Integrals, die verwendete Methode und den Funktionsgraph mit der farbig markierten Fläche unter der Kurve.

Integral online berechnen — Numerische Integration erklärt

Das bestimmte Integral ∫ f(x) dx von a bis b berechnet die Fläche zwischen einer Funktion und der x-Achse in einem gegebenen Intervall. Es ist eines der fundamentalen Konzepte der Analysis und hat zahlreiche Anwendungen in Physik, Ingenieurwesen und Wirtschaft.

Die Simpson-Regel ist eine der genauesten Methoden zur numerischen Integration. Sie unterteilt das Intervall in viele kleine Abschnitte und approximiert die Fläche in jedem Abschnitt durch eine Parabel. Im Vergleich zur einfacheren Trapezregel liefert die Simpson-Regel bei gleicher Anzahl Teilintervalle deutlich genauere Ergebnisse.

Für Polynome bis Grad 3 liefert die Simpson-Regel sogar exakte Ergebnisse — unabhängig von der Anzahl der Teilintervalle. Bei komplexeren Funktionen steigt die Genauigkeit mit der Anzahl der Teilintervalle. Mit 200 Teilintervallen erreicht der Rechner für die meisten Funktionen eine Genauigkeit von mindestens 6 Dezimalstellen.

Mit dem Integralrechner online berechnen Sie bestimmte Integrale numerisch — direkt im Browser, ohne Installation. Geben Sie eine beliebige Funktion ein, setzen Sie die Grenzen und sehen Sie das Ergebnis sofort, inklusive Funktionsgraph mit farbig markierter Fläche unter der Kurve.

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Das unbestimmte Integral sucht eine Stammfunktion — eine Funktion, deren Ableitung der Integrand ist. Das Ergebnis ist wieder eine Funktion, zuzüglich einer Integrationskonstante.

Das bestimmte Integral hat zwei Grenzen und liefert eine Zahl: den orientierten Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse. Dieser Rechner löst den zweiten Fall — den, der in Anwendungen fast immer gebraucht wird.

Warum Ergebnisse negativ sein können

Das bestimmte Integral misst orientierte Fläche. Verläuft die Kurve unterhalb der x-Achse, zählt der Beitrag negativ.

Bei einer Sinusfunktion von 0 bis 2π heben sich beide Hälften exakt auf, das Integral ist null — obwohl die eingeschlossene Fläche keineswegs null ist. Wer den reinen Flächeninhalt sucht, muss die Nullstellen bestimmen und abschnittsweise integrieren.

Wie numerische Integration arbeitet

Statt eine Stammfunktion zu suchen, zerlegen numerische Verfahren das Intervall in viele Teilstücke und nähern die Fläche darin an. Die Trapezregel ersetzt die Kurve stückweise durch Geraden, die Simpson-Regel durch Parabeln.

Simpson ist deutlich genauer: Bei gleicher Stützstellenzahl liegt der Fehler typischerweise um Größenordnungen niedriger, weil Parabeln Krümmung abbilden können und Geraden nicht.

Warum nicht symbolisch gerechnet wird

Viele Funktionen haben schlicht keine elementare Stammfunktion. Das bekannteste Beispiel ist e^(−x²), die Grundlage der Normalverteilung — sie ist nachweislich nicht elementar integrierbar.

Numerische Verfahren funktionieren dagegen immer, solange die Funktion auf dem Intervall definiert und hinreichend gutartig ist. Deshalb rechnen praktisch alle Anwendungen numerisch.

Wo numerische Verfahren an Grenzen stoßen

Kritisch sind Polstellen im Integrationsintervall, Sprungstellen und stark oszillierende Funktionen. In diesen Fällen liefert das Verfahren zwar eine Zahl, aber keine verlässliche.

Prüfen Sie deshalb vor dem Integrieren, ob der Integrand im ganzen Intervall definiert ist. Bei 1/x über ein Intervall, das die Null enthält, existiert das Integral gar nicht — der Rechner kann das nicht wissen.

Uneigentliche Integrale

Reicht eine Grenze ins Unendliche oder ist der Integrand am Rand nicht definiert, spricht man von uneigentlichen Integralen. Manche konvergieren, andere nicht.

Numerisch lässt sich das nur über eine Näherung mit großen endlichen Grenzen abschätzen. Ob wirklich Konvergenz vorliegt, ist eine analytische Frage und keine, die sich durch Rechnen entscheiden lässt.

Was das Ergebnis bedeutet

Je nach Anwendung steht dieselbe Zahl für Verschiedenes: Fläche unter einer Kurve, zurückgelegter Weg bei gegebener Geschwindigkeit, verrichtete Arbeit bei gegebener Kraft, Wahrscheinlichkeit unter einer Dichtefunktion.

Die Einheit folgt aus dem Produkt der Achsen. Wer Geschwindigkeit in Metern je Sekunde über Sekunden integriert, erhält Meter — die Einheitenkontrolle ist der schnellste Plausibilitätstest.