Bestimmtes Integral berechnen — Fläche unter einer Kurve ermitteln
Ein bestimmtes Integral beschreibt die Fläche zwischen einer Funktion und der waagerechten Achse innerhalb zweier Grenzen. Flächen oberhalb der Achse zählen positiv, Flächen unterhalb negativ. Der Rechner ermittelt diesen Wert numerisch, indem er den Bereich in viele schmale Streifen zerlegt und deren Flächen aufsummiert.
∫ f(x) dx von 0 bis 3
9
Methode
Simpson-Regel
n = 200
Unterstützte Funktionen: Grundrechenarten (+, −, ×, ÷), Potenzen (x^n), Wurzeln (sqrt), trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan), Exponential (exp), Logarithmus (log, ln), Konstanten (pi, e). Variable: x.
Numerische Integration nach der Simpson-Regel. Die Genauigkeit hängt von der Anzahl der Teilintervalle ab. Bei unstetigen Funktionen oder Polstellen können Abweichungen auftreten.
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Formel
Das bestimmte Integral einer Funktion zwischen einer unteren und einer oberen Grenze ist der Grenzwert der Summe schmaler Rechteckflächen unter der Kurve, wenn deren Breite immer kleiner wird.
∫ von a bis b f(x) dx
- a
- untere Integrationsgrenze
- b
- obere Integrationsgrenze
- f(x)
- zu integrierende Funktion
Rechenbeispiel: Fläche unter einer Parabel
- 1
Funktion und Grenzen festlegen, etwa die Normalparabel zwischen null und eins
- 2
Den Bereich in viele schmale Streifen gleicher Breite zerlegen
- 3
Für jeden Streifen die Fläche bestimmen und alle Streifen aufsummieren
- 4
Die Streifen immer schmaler wählen, bis sich der Summenwert nicht mehr merklich ändert
Je feiner die Zerlegung, desto genauer nähert sich die Summe dem exakten Flächeninhalt an. Genau dieses Verfahren führt der Rechner automatisch aus.
Typische Fehler
errorNegative Teilflächen nicht bedacht
Verläuft die Kurve abschnittsweise unterhalb der Achse, zählen diese Flächen negativ und heben positive Anteile teilweise auf. Wer den tatsächlichen Flächeninhalt braucht, muss die Nullstellen bestimmen und die Abschnitte einzeln betrachten.
errorGrenzen vertauscht eingegeben
Wird die obere mit der unteren Grenze vertauscht, kehrt sich das Vorzeichen des Ergebnisses um. Der Betrag bleibt gleich, das Vorzeichen nicht. Prüfen Sie deshalb vor der Auswertung, welche der beiden Zahlen die kleinere ist.
errorDefinitionslücken im Intervall übersehen
Funktionen mit Polstellen oder Wurzeln aus negativen Zahlen sind nicht überall definiert. Liegt eine solche Stelle zwischen den Grenzen, liefert die numerische Auswertung entweder keinen oder einen unbrauchbaren Wert. Prüfen Sie den Definitionsbereich vorab.
Was ein Integral anschaulich bedeutet
Hinter dem Integralzeichen steckt eine einfache Vorstellung: Es geht um die Fläche zwischen einer Kurve und der waagerechten Achse. Solange die Kurve eine Gerade ist, kommt man mit Rechteck- und Dreiecksformeln aus. Sobald sie sich krümmt, versagen diese Formeln — und genau dort setzt die Integralrechnung an.
Die Grundidee ist das Zerlegen. Man teilt den Bereich zwischen den beiden Grenzen in schmale Streifen auf, behandelt jeden Streifen näherungsweise als Rechteck und addiert alle Teilflächen. Je schmaler die Streifen, desto besser passt sich die Treppenform der Kurve an. Der Grenzwert dieser immer feineren Zerlegung ist das Integral.
Vorzeichen und Grenzen richtig lesen
Ein Punkt sorgt regelmäßig für Verwirrung: Das Integral liefert nicht zwingend den Flächeninhalt, sondern eine vorzeichenbehaftete Bilanz. Liegt die Kurve unterhalb der Achse, gehen diese Anteile negativ ein. Eine Funktion, die symmetrisch um die Achse schwingt, kann deshalb ein Integral von null haben, obwohl sichtbar Fläche vorhanden ist.
Für die reine Flächenberechnung müssen Sie deshalb zuerst die Nullstellen im Intervall bestimmen, die Abschnitte einzeln integrieren und die Beträge addieren. Für physikalische Anwendungen ist dagegen oft genau die vorzeichenbehaftete Bilanz die gesuchte Größe — etwa wenn Zuflüsse und Abflüsse gegeneinander verrechnet werden sollen.
Die Reihenfolge der Grenzen ist die zweite Stolperstelle. Vertauscht man sie, dreht sich das Vorzeichen. Das ist keine Fehlfunktion, sondern Teil der Definition, und es hat einen praktischen Nutzen: Man kann Integrale über aneinandergrenzende Abschnitte einfach zusammensetzen, ohne die Richtung im Blick behalten zu müssen.