Kegel berechnen: Volumen, Mantelfläche, Mantellinie und Höhe

Kegel berechnen: ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche

Ein gerader Kreiskegel hat einen Kreis als Grundfläche und eine Spitze genau über dessen Mittelpunkt. Zwei Maße legen ihn fest: der Radius r und die Höhe h. Aus ihnen folgen Mantellinie, Volumen, Mantel, Oberfläche und Öffnungswinkel. Dieser Rechner behandelt den vollen Kegel mit Spitze, nicht den abgeschnittenen Kegelstumpf.

Kegel-Formeln für Volumen, Mantellinie, Mantel und Oberfläche

Der Faktor 1/3 gilt für jede Spitzform, also auch für die Pyramide. Ein Kegel fasst genau ein Drittel des Zylinders, der dieselbe Grundfläche und Höhe hat. Zur Probe: Ein Zylinder mit 3 cm Radius und 4 cm Höhe fasst 113,10 cm³, der Kegel mit denselben Maßen 37,70 cm³. Sie können also drei Kegelfüllungen in einen Zylinder gießen.

Kegel berechnen Schritt für Schritt: 3 cm Radius und 4 cm Höhe

Ein kleiner Kegel mit 6 cm Durchmesser und 4 cm Höhe:

1. Radius: 6 cm / 2 = 3 cm.
2. Grundfläche: π · 3² = 28,27 cm².
3. Volumen: 28,27 cm² · 4 cm / 3 = 37,70 cm³, das sind 0,04 Liter.
4. Mantellinie: Wurzel aus (9 + 16) = 5 cm.
5. Mantelfläche: π · 3 · 5 = 47,12 cm².
6. Oberfläche: 28,27 + 47,12 = 75,40 cm².
7. Öffnungswinkel: 2 · arctan(3 / 4) = 73,74 Grad.

Die Zahlen 3, 4 und 5 bilden ein pythagoreisches Tripel, deshalb ist die Mantellinie hier glatt. Bei anderen Maßen ergibt sich meist ein krummer Wert, den der Pythagoras-Rechner ebenso liefert.

Höhe eines Kegels berechnen aus Mantellinie oder Volumen

Die Höhe lässt sich bei einem Kegel oft nicht direkt messen, weil die Spitze über der Mitte schwebt. Der Rechner bietet zwei Umkehrungen.

• Aus Mantellinie und Radius: Eine Kegelform hat 13 cm Mantellinie und 5 cm Radius. Die Höhe beträgt Wurzel aus (169 − 25) = 12 cm. Das Volumen ist dann 314,16 cm³, der Öffnungswinkel 45,24 Grad.
• Aus Volumen und Radius: Ein Trichter mit 5 cm Radius soll genau 1 Liter, also 1.000 cm³, fassen. Die nötige Höhe beträgt 38,20 cm, die Mantellinie 38,52 cm. Der Kegel wird damit sehr schlank, sein Öffnungswinkel liegt bei nur 14,92 Grad.

Ist die Mantellinie kürzer als der Radius, kann kein Kegel entstehen, und der Rechner meldet einen ungültigen Wert.

Kegel in Liter: Eistüte, Schultüte, Pylone und Schüttkegel

Die Tabelle zeigt kegelförmige Dinge aus dem Alltag mit typischen Maßen. Alle Ergebnisse stammen aus dem Rechner.

Die Schultüte ist ein gutes Beispiel für den Unterschied zwischen Volumen und Material: Sie fasst gut 7 Liter, für den Mantel brauchen Sie aber rund 0,22 m² Karton, zuzüglich Klebefalz.

Schüttkegel berechnen: Sand, Kies und Erde abschätzen

Lose Materialien bilden beim Abkippen einen Kegel. Ein Sandhaufen mit 2 m Durchmesser und 0,8 m Höhe enthält 0,84 m³. Verdoppeln Sie den Radius auf 2 m bei 1 m Höhe, sind es schon 4,19 m³, fünfmal so viel, weil der Radius im Quadrat eingeht. Der Öffnungswinkel verrät zudem, wie flach der Haufen ist: 102,68 Grad beim kleineren, 126,87 Grad beim flacheren Kieshaufen. Wie viel Tonnen das sind, hängt von der Schüttdichte ab; der Kubikmeter-Rechner hilft beim Weiterrechnen.

Kegelmantel abwickeln: Kreisausschnitt aus Papier oder Blech zuschneiden

Wer einen Kegel aus Karton, Stoff oder Blech bauen will, braucht die Abwicklung des Mantels. Sie ist ein Kreisausschnitt, dessen Radius die Mantellinie s ist. Der Winkel des Ausschnitts beträgt 360 Grad · r / s. Beim Kegel mit 3 cm Radius und 5 cm Mantellinie sind das 216 Grad, Sie schneiden also aus einem Kreis mit 5 cm Radius ein Stück von 144 Grad heraus. Bei der Schultüte mit 10 cm Radius und 70,71 cm Mantellinie ist der Ausschnitt nur 50,91 Grad breit, deshalb wirkt der Zuschnitt so schmal. Die Fläche des Zuschnitts entspricht der Mantelfläche aus dem Rechner, hier 2.221,44 cm².

Kegelvolumen im Kopf überschlagen: π durch 3 ergibt fast 1

Da π / 3 ungefähr 1 ist, entspricht das Volumen eines Kegels grob r² · h. Bei 3 cm Radius und 4 cm Höhe ergibt das 36 cm³, der exakte Wert von 37,70 cm³ liegt knapp darüber. Dieser Überschlag ist die schnellste Plausibilitätsprüfung: Weicht Ihr Ergebnis um den Faktor 3 ab, fehlt das Drittel oder es wurde doppelt angewendet. Weicht es um den Faktor 4 ab, wurde der Durchmesser als Radius eingesetzt.

Typische Fehler beim Kegel berechnen

• Durchmesser statt Radius: Mit 6 statt 3 cm Radius steigt das Volumen von 37,70 auf 150,80 cm³, also auf das Vierfache.
• Mantellinie als Höhe: Die schräge Kante ist immer länger als die senkrechte Höhe. Wer sie einsetzt, rechnet ein zu großes Volumen.
• Drittel vergessen: Ohne 1/3 erhalten Sie das Volumen des umschließenden Zylinders.
• Mantel ohne Mantellinie: Die Mantelfläche braucht s, nicht h. M = π · r · h ist falsch.
• Kegelstumpf als Kegel gerechnet: Ein Eimer hat keine Spitze. Wer ihn als vollen Kegel rechnet, unterschätzt den Inhalt deutlich.

Kegel-Rechner und Kegelstumpfrechner abgrenzen

Diese Seite rechnet den vollen geraden Kreiskegel mit Spitze. Ist die Spitze waagerecht abgeschnitten, wie bei Eimer, Blumentopf oder Lampenschirm, verwenden Sie den Kegelstumpfrechner, der mit zwei Radien arbeitet. Für Behälter mit senkrechten Wänden ist der Zylinder-Rechner zuständig, für spitze Körper mit eckiger Grundfläche der Pyramiden-Rechner.