Wie hängen Mantellinie, Höhe und Öffnungswinkel eines Kegels zusammen?
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Radius, Höhe und Mantellinie eines Kegels bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Mantellinie ist deshalb die Wurzel aus Radius zum Quadrat plus Höhe zum Quadrat, bei 3 cm und 4 cm also 5 cm. Der Öffnungswinkel an der Spitze ist das Doppelte des Winkels, dessen Tangens Radius durch Höhe ist, hier rund 73,74 Grad.
Volumen
37,699 cm³
0,038 Liter
Mantelfläche
47,124 cm²
Oberfläche
75,398 cm²
Höhe
4 cm
Mantellinie
5 cm
Grundfläche
28,274 cm²
Durchmesser
6 cm
Öffnungswinkel
73,74°
Formeln: V = 1/3 · π · r² · h, s = √(r² + h²), M = π · r · s, O = π · r² + M. Für einen abgeschnittenen Kegel nutzen Sie den Kegelstumpfrechner.
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Formel
Schneiden Sie den Kegel senkrecht durch die Spitze, sehen Sie ein Dreieck aus Höhe, Radius und Mantellinie mit einem rechten Winkel am Fußpunkt der Höhe. Die Mantellinie folgt aus dem Satz des Pythagoras. Den halben Öffnungswinkel liefert der Arkustangens von Radius durch Höhe, verdoppelt ergibt er den Öffnungswinkel.
s = √(r² + h²), Öffnungswinkel = 2 · arctan(r / h), V = 1/3 · π · r² · h
- r
- Radius der Grundfläche
- h
- senkrechte Höhe von der Grundfläche zur Spitze
- s
- Mantellinie, schräge Strecke vom Rand zur Spitze
Rechenbeispiel: Kegel mit 3 cm Radius und 4 cm Höhe
- 1
Maße festlegen: Radius und Höhe, der Durchmesser ist doppelt so groß wie der Radius
= r = 3 cm, h = 4 cm, d = 6 cm
- 2
Mantellinie: √(3² + 4²) = √25
= 5 cm
- 3
Öffnungswinkel an der Spitze: 2 · arctan(3 / 4)
= 73,74 Grad
- 4
Grundfläche: π · 3²
= 28,27 cm²
- 5
Volumen: ein Drittel von Grundfläche mal Höhe
= 37,70 cm³ (0,0377 Liter)
- 6
Mantelfläche: π · 3 · 5
= 47,12 cm²
- 7
Oberfläche: Mantel plus Grundfläche
= 75,40 cm²
Bei 3 cm Radius und 4 cm Höhe ist die Mantellinie genau 5 cm lang und der Öffnungswinkel beträgt rund 73,74 Grad. Der Kegel fasst 37,70 cm³ und hat eine Oberfläche von 75,40 cm².
Typische Fehler
errorDen halben Winkel als Öffnungswinkel angegeben
Der Arkustangens von Radius durch Höhe liefert nur den Winkel zwischen Höhe und Mantellinie. Der Öffnungswinkel an der Spitze ist doppelt so groß. Bei 3 cm Radius und 4 cm Höhe sind das 73,74 Grad und nicht 36,87 Grad.
errorDie Füllmenge proportional zur Füllhöhe geschätzt
Steht der Kegel auf der Spitze wie ein Trichter oder Cocktailglas, wächst der Inhalt mit der dritten Potenz der Füllhöhe. Bis zur halben Höhe gefüllt, enthält er nur ein Achtel des Gesamtvolumens. Rechnen Sie mit Füllhöhe und dem zugehörigen Radius neu.
Das Dreieck im Kegel: warum Pythagoras fast jede Kegelaufgabe löst
Schneidet man einen geraden Kreiskegel senkrecht durch die Spitze, entsteht ein gleichschenkliges Dreieck. Seine halbe Grundseite ist der Radius, seine Höhe die Kegelhöhe und seine Schenkel sind die Mantellinien. Die Hälfte dieses Dreiecks ist rechtwinklig, und damit lässt sich jede der drei Größen aus den beiden anderen berechnen. Wer die schräge Wandlänge eines Trichters misst, kann so die Höhe zurückrechnen, ohne den Trichter aufzuschneiden.
Der Öffnungswinkel beschreibt, wie spitz oder stumpf ein Kegel ist. Kleine Winkel stehen für schlanke Formen wie Eistüten oder Bleistiftspitzen, große Winkel für flache Formen wie Lampenschirme oder Schüttkegel. Im Beispiel mit 3 cm Radius und 4 cm Höhe beträgt er rund 73,74 Grad. Die Mantellinie steht dann mit gut 53 Grad zur Grundfläche. Bei Sand- und Kieshaufen entspricht dieser Neigungswinkel dem Schüttwinkel des Materials, der für trockenen Sand meist zwischen 30 und 35 Grad liegt.
Füllhöhe im Trichter: warum der Inhalt oben so schnell wächst
Steht ein Kegel auf der Spitze, verhält sich die Füllmenge überraschend. Weil mit der Füllhöhe auch der Radius der Wasseroberfläche wächst, steigt das Volumen mit der dritten Potenz. Bei halber Höhe ist erst ein Achtel gefüllt, bei drei Vierteln der Höhe gut 42 Prozent. Das erklärt, warum sich Cocktailgläser und Sektschalen voller anfühlen, als sie sind, und warum Messbecher mit kegelförmigem Boden oben sehr eng skaliert sind.
Für die Abwicklung des Mantels, etwa beim Zuschnitt aus Papier oder Blech, ist die Mantellinie der Radius des Kreisausschnitts. Der Mittelpunktswinkel ergibt sich aus 360 Grad mal Radius durch Mantellinie, im Beispiel 216 Grad. Geben Sie beim Zuschnitt einige Millimeter Klebe- oder Falzrand zu, sonst fehlt am Ende genau die Überlappung, die den Mantel zusammenhält. Ist die Spitze abgeschnitten, etwa bei einem Eimer oder Blumentopf, rechnen Sie mit dem Kegelstumpf-Rechner weiter.