Kegelstumpfrechner — Volumen, Mantel- und Oberfläche berechnen

So nutzen Sie den Kegelstumpfrechner

Geben Sie den unteren Radius R, den oberen Radius r und die Höhe h ein. Der Rechner bestimmt daraus Volumen, Mantellinie, Mantelfläche und die gesamte Oberfläche — alle Werte aktualisieren sich sofort. Ein Kegelstumpf entsteht, wenn man von einem Kegel die Spitze parallel zur Grundfläche abschneidet — typische Beispiele sind Eimer, Blumentöpfe, Lampenschirme oder Trichter.

Ob der größere Radius oben oder unten liegt, spielt für Volumen und Flächen keine Rolle — ein umgedrehter Eimer bleibt derselbe Körper.

Die verwendeten Formeln

• Volumen: V = (π · h / 3) · (R² + r² + R · r). Bei R = 5 m, r = 3 m, h = 6 m: 2π · 49 ≈ 307,88 m³.
• Mantellinie: s = √(h² + (R − r)²) — Pythagoras aus Höhe und Radiendifferenz. Im Beispiel ≈ 6,32 m.
• Mantelfläche: M = π · (R + r) · s ≈ 158,95 m² im Beispiel.
• Oberfläche: O = M + π · R² + π · r² ≈ 265,77 m² im Beispiel.

Die Volumenformel ist die Verallgemeinerung von Kegel und Zylinder: Für r = 0 wird daraus die Kegelformel, für r = R die Zylinderformel. Der gemischte Term R · r sorgt für den korrekten Übergang dazwischen.

Typische Anwendungsfälle

Kegelstümpfe sind die Form fast aller konischen Behälter: Eimer und Mörtelkübel (Füllvolumen), Blumentöpfe und Pflanzkübel (Erde in Litern — Volumen mal 1.000), Trichter, Übergangsstücke und Abzugshauben in der Blechverarbeitung (Mantelfläche als Zuschnittmaß), Lampenschirme (Stoff- oder Papierbedarf) und Silos oder Betontrichter im Bau.

Für Materialzuschnitte ist die Mantellinie die Schlüsselgröße: Abgerollt ergibt der Mantel einen Kreisringausschnitt, dessen Breite genau s ist. Und wer die Wandlänge eines Gefäßes gemessen hat, rechnet die Höhe einfach zurück: h = √(s² − (R − r)²).

Eine ausführliche Herleitung mit Rechenbeispiel und typischen Fehlern finden Sie im Ratgeber zum Kegelstumpfrechner.

Passende Rechner

• Volumenrechner
• Pyramidenstumpfrechner
• Kreisrechner

Die Volumenformel

V = (π·h/3)·(R² + R·r + r²) mit den beiden Radien R und r und der Höhe h.

Der mittlere Term R·r ist das geometrische Mittel der beiden Radien. Er wirkt willkürlich, folgt aber zwingend daraus, dass die Kreisfläche quadratisch mit dem Radius wächst — nicht linear.

Warum der Mittelwert der Radien falsch ist

Naheliegend wäre, mit dem mittleren Radius als Zylinder zu rechnen. Das ergibt systematisch zu wenig.

Bei R = 10 und r = 5 Zentimetern liefert der Mittelradius 7,5 eine Fläche von 176,7, die korrekte Formel dagegen einen Wert entsprechend 58,3 statt 56,25 im quadratischen Term. Die Abweichung wächst, je stärker sich die Radien unterscheiden.

Höhe und Mantellinie unterscheiden

Die Höhe h ist der senkrechte Abstand der beiden Kreisflächen. Die Mantellinie s verläuft schräg an der Außenseite und ist länger.

Für das Volumen brauchen Sie h, für die Mantelfläche s. Beide hängen über den Satz des Pythagoras zusammen: s² = h² + (R − r)².

Die Mantelfläche

M = π·(R + r)·s mit der Mantellinie s. Das ist die Größe für Materialbedarf, Lackierung oder Verkleidung.

Für die gesamte Oberfläche kommen die beiden Kreisflächen dazu: πR² und πr². Ob sie mitzählen, hängt vom Anwendungsfall ab — bei einem oben offenen Behälter nur eine.

Der Sonderfall: r gleich null

Wird der obere Radius null, vereinfacht sich die Formel zu V = πR²h/3 — der bekannten Kegelformel. Der Kegelstumpf ist der allgemeinere Fall.

Sind beide Radien gleich, ergibt sich V = πR²h, also der Zylinder. Die Formel deckt beide Grenzfälle ab, was ein guter Plausibilitätstest für eigene Rechnungen ist.

Wo Kegelstümpfe vorkommen

Eimer, Blumentöpfe, Lampenschirme, Silotrichter, Kühltürme und viele Trinkgefäße. In der Verfahrenstechnik ist der Trichter der Standardfall.

Bei Behältern ist zusätzlich die Frage nach dem Füllstand interessant: Das Volumen bis zu einer bestimmten Höhe berechnet sich mit demselben Ansatz, nur mit dem Radius auf dieser Höhe — der sich linear zwischen r und R interpolieren lässt.