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Kegelstumpf berechnen — Volumen, Mantel- und Oberfläche mit Formel und Rechner

Das Volumen eines Kegelstumpfs berechnen Sie mit V = (π · h / 3) · (R² + r² + R · r). Die Mantellinie ist s = √(h² + (R − r)²), die Mantelfläche M = π · (R + r) · s und die gesamte Oberfläche O = M + π · R² + π · r².

Volumen

307,88 m³

Mantelfläche

158,95 m²

Oberfläche

265,77 m²

Mantellinie s

6,32 m

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Formel

Das Volumen ist Pi mal Höhe durch drei, multipliziert mit der Summe aus dem Quadrat des unteren Radius, dem Quadrat des oberen Radius und dem Produkt beider Radien. Die Mantellinie folgt aus dem Satz des Pythagoras aus Höhe und Radiendifferenz.

V = (π · h / 3) · (R² + r² + R · r)

R
Radius der unteren Grundfläche
r
Radius der oberen Deckfläche
h
Höhe des Kegelstumpfs
s
Mantellinie

Rechenbeispiel: Kegelstumpf mit R = 5 m, r = 3 m und h = 6 m

  1. 1

    Radien und Höhe festlegen: R = 5 m, r = 3 m, h = 6 m

  2. 2

    Volumen: V = (π · 6 / 3) · (25 + 9 + 15) = 2π · 49

    = ≈ 307,88 m³

  3. 3

    Mantellinie: s = √(6² + (5 − 3)²) = √40

    = ≈ 6,32 m

  4. 4

    Mantelfläche: M = π · (5 + 3) · 6,32

    = ≈ 158,95 m²

  5. 5

    Oberfläche: O = 158,95 + π · 25 + π · 9

    = ≈ 265,77 m²

Ein Kegelstumpf mit 5 m unterem Radius, 3 m oberem Radius und 6 m Höhe fasst rund 307,88 m³ und hat eine Gesamtoberfläche von rund 265,77 m² — der Rechner liefert alle vier Werte auf einen Schlag.

Typische Fehler

errorMantellinie mit der Höhe verwechselt

Die Höhe h steht senkrecht auf der Grundfläche, die Mantellinie s verläuft schräg entlang der Außenwand. In die Mantelflächenformel M = π · (R + r) · s gehört die Mantellinie, nicht die Höhe — sonst fällt die Fläche zu klein aus.

errorDurchmesser statt Radius eingesetzt

Alle Formeln arbeiten mit den Radien. Wer die Durchmesser eines Eimers misst, muss sie vorher halbieren — sonst wird das Volumen um den Faktor vier zu groß.

Kegelstumpf berechnen — worauf es ankommt

Ein Kegelstumpf entsteht, wenn man von einem Kegel die Spitze parallel zur Grundfläche abschneidet. Übrig bleibt ein Körper mit zwei kreisförmigen, unterschiedlich großen Flächen: der Grundfläche mit Radius R unten und der Deckfläche mit Radius r oben. Zusammen mit der Höhe h ist der Kegelstumpf damit vollständig bestimmt — genau diese drei Größen fragt der Kegelstumpfrechner ab.

Die Volumenformel V = (π · h / 3) · (R² + r² + R · r) lässt sich als Verallgemeinerung der Kegelformel lesen: Für r = 0 (die Spitze bleibt dran) wird daraus das bekannte V = (π / 3) · R² · h, für r = R (nichts abgeschnitten, Wände senkrecht) das Zylindervolumen V = π · R² · h. Der gemischte Term R · r sorgt dafür, dass der Übergang zwischen beiden Extremen stimmt.

Für die Flächenberechnung ist die Mantellinie s entscheidend — die schräge Strecke entlang der Außenwand vom unteren zum oberen Rand. Sie folgt aus dem Satz des Pythagoras: s = √(h² + (R − r)²), denn Höhe und Radiendifferenz bilden die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Mantelfläche ist dann M = π · (R + r) · s, also Pi mal der Summe beider Radien mal Mantellinie. Wer die komplette Oberfläche braucht, addiert Grund- und Deckkreis: O = M + π · R² + π · r².

Praktische Anwendungsfälle gibt es viele: Der klassische Putzeimer, der Blumentopf und der Papierbecher sind Kegelstümpfe — über das Volumen lässt sich die Füllmenge bestimmen. Beim Lampenschirm oder Abzugstrichter interessiert dagegen die Mantelfläche als Materialbedarf. Wichtig ist dabei zweierlei: Erstens immer mit Radien rechnen, nicht mit Durchmessern. Zweitens die Höhe senkrecht messen, nicht entlang der schrägen Wand — wer die Wandlänge misst, hat bereits die Mantellinie s und kann die Höhe über h = √(s² − (R − r)²) zurückrechnen.

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Häufige Fragen: Kegelstumpfrechner

Wie berechnet man das Volumen eines Kegelstumpfs? expand_more
Mit V = (π · h / 3) · (R² + r² + R · r). Bei R = 5 m, r = 3 m und h = 6 m ergibt das 2π · 49 ≈ 307,88 m³.
Was passiert, wenn beide Radien gleich groß sind? expand_more
Dann wird der Kegelstumpf zum Zylinder: Die Formel liefert V = π · R² · h und die Mantellinie entspricht genau der Höhe.
Wie berechne ich die Mantellinie eines Kegelstumpfs? expand_more
Mit dem Satz des Pythagoras: s = √(h² + (R − r)²). Höhe und Radiendifferenz bilden die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, die Mantellinie ist die Hypotenuse.
Wofür braucht man die Kegelstumpf-Berechnung im Alltag? expand_more
Typische Anwendungen sind Füllmengen von Eimern, Blumentöpfen oder Trichtern (Volumen) sowie Materialbedarf für Lampenschirme oder Behälterwände (Mantelfläche).

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