Kreisabschnittrechner — Segmentfläche, Sehne und Bogen berechnen

So nutzen Sie den Kreisabschnittrechner

Geben Sie zunächst den Radius des Kreises ein. Danach wählen Sie, ob Sie den Zentriwinkel oder die Höhe des Abschnitts kennen. Der Rechner liefert sofort die Segmentfläche, die Sehnenlänge, die Bogenlänge, die Höhe und den Zentriwinkel — alle Werte aktualisieren sich bei jeder Eingabe.

Der Höhen-Modus ist der Praxismodus: Wenn Sie an einem Bauteil nur ablesen können, wie hoch sich der Bogen über die Sehne wölbt, genügt genau dieser Wert zusammen mit dem Radius.

Die verwendeten Formeln

Mit dem Zentriwinkel θ im Bogenmaß gilt:

• Segmentfläche: A = ½ · r² · (θ − sin θ) — der Sektor minus das innenliegende Dreieck.
• Sehne: s = 2 · r · sin(θ / 2). Bei r = 5 m und 90°: rund 7,07 m.
• Bogenlänge: b = r · θ. Bei r = 5 m und 90°: rund 7,85 m.
• Höhe: h = r · (1 − cos(θ / 2)) — die größte Wölbung über der Sehne.

Im Höhen-Modus wird der Winkel zuerst über θ = 2 · arccos(1 − h / r) zurückgerechnet. Die Grad-Radiant-Umrechnung übernimmt der Rechner intern — Sie geben den Winkel bequem in Grad ein.

Typische Anwendungsfälle

Kreisabschnitte stecken in vielen Bau- und Werkstattaufgaben: Bogenfenster und Türbögen (Segmentfläche für Verglasung, Bogenlänge für Rahmen und Kantenband), Tonnengewölbe und Wintergartendächer, gewölbte Fassadenelemente oder das klassische Runddach eines Carports.

Ein besonders praktischer Fall ist der liegende zylindrische Tank — Heizöl, Regenwasser, Gülle: Der Füllstand ist die Segmenthöhe, und Segmentfläche mal Tanklänge ergibt das aktuelle Füllvolumen. Auch beim Ablängen von Rundmaterial, das flach angeschnitten wird, beschreibt der Kreisabschnitt die entstehende Schnittfläche.

Eine ausführliche Herleitung mit Rechenbeispiel und typischen Fehlern finden Sie im Ratgeber zum Kreisabschnittrechner.

Passende Rechner

• Kreisrechner
• Flächenrechner
• Steigungsrechner

Kreisabschnitt oder Kreissektor — der entscheidende Unterschied

Der Kreissektor ist das Tortenstück: begrenzt von zwei Radien und dem Bogen. Der Kreisabschnitt ist nur die Fläche zwischen Sehne und Bogen — also der Sektor ohne das Dreieck.

Genau diese Differenz steckt in der Formel: A = (r²/2)·(α − sin α), mit α im Bogenmaß. Der Term r²α/2 ist der Sektor, r²·sin α/2 das abzuziehende Dreieck.

Warum das Bogenmaß Pflicht ist

Die Formel funktioniert nur, wenn α in Radiant eingesetzt wird. Wer 90 statt π/2 einsetzt, erhält Unsinn.

Die Umrechnung lautet α_rad = α_grad · π/180. Und Vorsicht bei Tabellenkalkulationen: Die Sinusfunktion erwartet dort ebenfalls Bogenmaß, weshalb die Umrechnung zweimal nötig ist — im linearen Term und im Sinus.

Sehne, Bogen und Höhe

Drei Größen beschreiben den Abschnitt vollständig:

• Sehne: c = 2r·sin(α/2)
• Bogenlänge: s = r·α
• Höhe (Segmenthöhe, Stichhöhe): h = r·(1 − cos(α/2))

Die Höhe ist die praktisch wichtigste, weil sie sich direkt messen lässt — anders als der Mittelpunktswinkel.

Von der Höhe zurück zum Winkel

Meist ist genau der Winkel unbekannt. Aus Radius und Höhe ergibt er sich über α = 2·arccos(1 − h/r).

Das ist der übliche Weg in der Praxis: Radius und Füllhöhe sind bekannt, der Winkel ist bloßes Rechenzwischenergebnis. Anschließend liefert die Segmentformel die Fläche.

Der Füllstand im liegenden Tank

Das ist der häufigste reale Anwendungsfall. Ein liegender Zylinder wird bis zur Höhe h gefüllt — die Flüssigkeitsfläche im Querschnitt ist ein Kreisabschnitt, das Volumen ist diese Fläche mal Tanklänge.

Und hier zeigt sich, warum die Rechnung nötig ist: Der Füllstand ist nicht proportional zum Volumen. Bei halber Höhe ist der Tank exakt halb voll, bei einem Viertel der Höhe aber nur zu rund 15 Prozent gefüllt. Wer linear schätzt, überschätzt kleine Füllstände deutlich.

Bogen oder Sehne — was Sie wirklich brauchen

Für Materialbedarf entlang der Rundung zählt der Bogen, für eine gerade Abdeckung die Sehne. Beide unterscheiden sich bei flachen Abschnitten kaum, bei großen Winkeln erheblich.

Bei einem Halbkreis ist der Bogen um den Faktor π/2, also rund 57 Prozent, länger als die Sehne.

Anwendungen jenseits des Tanks

Kreisabschnitte tauchen auf bei teilgefüllten Rohrleitungen, bei Rundbogenfenstern und Torbögen, bei Segmentbögen im Mauerwerk und bei der Berechnung überlappender Kreisflächen.

Bei Rohren mit Teilfüllung entscheidet der benetzte Umfang zusätzlich über den Reibungsverlust — dort brauchen Sie Fläche und Bogenlänge gleichzeitig.