Kreisabschnitt berechnen — Segmentfläche, Sehne und Bogen mit Formel
Die Fläche eines Kreisabschnitts berechnen Sie mit A = ½ · r² · (θ − sin θ), wobei θ der Zentriwinkel im Bogenmaß ist. Die Sehne ist 2 · r · sin(θ/2), die Bogenlänge r · θ. Grad rechnen Sie vorher in Radiant um.
Segmentfläche
7,13 m²
Sehne
7,07 m
Bogenlänge
7,85 m
Höhe
1,46 m
Zentriwinkel
90°
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Formel
Die Segmentfläche ist ein halbes Radius-Quadrat mal die Differenz aus Zentriwinkel und Sinus des Zentriwinkels. Der Winkel muss dabei im Bogenmaß eingesetzt werden.
A = ½ · r² · (θ − sin θ)
- r
- Radius des Kreises
- θ
- Zentriwinkel im Bogenmaß (Radiant)
- A
- Fläche des Kreisabschnitts
Rechenbeispiel: Radius 5 m, Winkel 90°
- 1
Winkel umrechnen: θ = 90° · π / 180 = 1,5708 rad
- 2
Bogenlänge: b = r · θ = 5 · 1,5708
= 7,85 m
- 3
Sehne: s = 2 · 5 · sin(45°)
= 7,07 m
- 4
Fläche: A = ½ · 5² · (1,5708 − sin 90°)
= 7,13 m²
Ein Kreisabschnitt mit 5 m Radius und 90° Zentriwinkel hat eine Bogenlänge von 7,85 m und eine Sehne von 7,07 m — Werte, die der Rechner sofort liefert.
Typische Fehler
errorGrad statt Radiant in die Formel eingesetzt
Die Formeln für Fläche und Bogen erwarten den Winkel im Bogenmaß. Setzen Sie 90 statt 1,5708 ein, ist das Ergebnis um den Faktor π/180 verschoben. Rechnen Sie Grad mit θ = Grad · π / 180 um — der Rechner erledigt das automatisch.
errorKreisabschnitt und Kreissektor verwechselt
Der Kreisabschnitt (Segment) liegt zwischen Sehne und Bogen, der Kreissektor (Tortenstück) zwischen zwei Radien und dem Bogen. Die Sektorfläche ist ½ · r² · θ, ohne den Term − sin θ.
Kreisabschnitt berechnen — worauf es ankommt
Ein Kreisabschnitt, auch Segment genannt, ist die Fläche, die eine Sehne vom Kreis abtrennt. Er ist vollständig bestimmt, sobald Sie zwei Größen kennen: den Radius und entweder den Zentriwinkel oder die Höhe des Abschnitts. Daraus lassen sich alle übrigen Werte — Segmentfläche, Sehnenlänge, Bogenlänge und Höhe — eindeutig ableiten. Genau das übernimmt der Kreisabschnittrechner.
Die zentrale Formel für die Fläche lautet A = ½ · r² · (θ − sin θ). Entscheidend ist, dass der Zentriwinkel θ dabei im Bogenmaß (Radiant) eingesetzt wird und nicht in Grad. Ein rechter Winkel von 90° entspricht π/2, also rund 1,5708 rad. Die Sehne berechnen Sie mit s = 2 · r · sin(θ/2), die Bogenlänge mit b = r · θ und die Höhe des Abschnitts mit h = r · (1 − cos(θ/2)).
In der Praxis taucht der Kreisabschnitt überall dort auf, wo runde Formen nur teilweise gefüllt oder abgeteilt sind. Ein klassisches Beispiel ist der Füllstand eines liegenden zylindrischen Tanks: Der Querschnitt der Flüssigkeit ist ein Kreisabschnitt. Auch bei Bogenfenstern, Gewölben, Brückenbögen oder beim Zuschnitt runder Bauteile ist die Segmentfläche gefragt. Kennen Sie in solchen Fällen nur die Höhe des gefüllten oder abgeteilten Bereichs, nutzen Sie den Höhen-Modus des Rechners, der über θ = 2 · arccos(1 − h/r) zunächst den Winkel bestimmt.
Ein häufiger Stolperstein ist die Verwechslung von Grad und Radiant. Wer 90 statt 1,5708 in die Formel einsetzt, erhält ein völlig falsches Ergebnis. Ebenso wichtig ist die Abgrenzung zum Kreissektor: Das Segment liegt zwischen Sehne und Bogen, der Sektor zwischen zwei Radien und dem Bogen. Für den vollständigen Kreis nutzen Sie den Kreisrechner, für beliebige ebene Flächen den Flächenrechner. Der Kreisabschnittrechner nimmt Ihnen die Umrechnung und die trigonometrischen Schritte vollständig ab und liefert alle Werte auf einen Blick.