Wie hängen Volumen und Oberfläche einer Kugel zusammen?
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Das Volumen einer Kugel ist 4/3 · π · r³, die Oberfläche 4 · π · r². Beide hängen über eine einfache Beziehung zusammen: Volumen gleich Oberfläche mal Radius durch 3. Bei einer Kugel mit 3 cm Radius ergeben deshalb Volumen und Oberfläche dieselbe Zahl, nämlich rund 113,10, einmal in cm³ und einmal in cm².
Volumen
4.188,79 cm³
Oberfläche
1.256,637 cm²
Füllmenge
4,189 Liter
Radius
10 cm
Durchmesser
20 cm
Umfang
62,832 cm
Formeln: V = 4/3 · π · r³, O = 4 · π · r², Umfang des Großkreises U = 2 · π · r. Aus dem Volumen: r = ∛(3 · V ÷ (4 · π)).
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Formel
Die Oberfläche ist das Vierfache der Querschnittsfläche, also vier mal Pi mal Radius zum Quadrat. Das Volumen ist vier Drittel mal Pi mal Radius hoch drei. Teilen Sie das Volumen durch die Oberfläche, bleibt genau ein Drittel des Radius übrig.
V = 4/3 · π · r³, O = 4 · π · r², V = O · r / 3
- r
- Radius der Kugel, halber Durchmesser
- V
- Volumen
- O
- Oberfläche
Rechenbeispiel: Kugel mit 3 cm Radius
- 1
Radius festlegen, der Durchmesser ist doppelt so groß
= r = 3 cm, d = 6 cm
- 2
Querschnittsfläche durch den Mittelpunkt: π · 3²
= 28,27 cm²
- 3
Oberfläche: viermal die Querschnittsfläche, 4 · π · 9
= 113,10 cm²
- 4
Volumen: 4/3 · π · 27
= 113,10 cm³
- 5
Umfang am Äquator: 2 · π · 3
= 18,85 cm
- 6
Volumen in Liter umrechnen
= 0,1131 Liter
Bei einer Kugel mit 3 cm Radius sind Volumen und Oberfläche zahlenmäßig gleich, weil Oberfläche mal Radius durch 3 genau das Volumen ergibt. Bei jedem anderen Radius weichen die beiden Werte voneinander ab.
Typische Fehler
errorDen Durchmesser statt des Radius in die Formel eingesetzt
Wer 6 cm statt 3 cm einsetzt, erhält ein achtmal zu großes Volumen und eine viermal zu große Oberfläche. Halbieren Sie den gemessenen Durchmesser immer zuerst oder wählen Sie im Rechner die Eingabe Durchmesser, dann übernimmt er das Halbieren.
errorAus der Zahlengleichheit auf gleiche Größen geschlossen
Dass Volumen und Oberfläche bei 3 cm Radius beide 113,10 ergeben, ist ein Zufall der Einheiten. Das eine sind Kubikzentimeter, das andere Quadratzentimeter. Rechnen Sie dieselbe Kugel in Millimetern, weichen die Zahlen deutlich voneinander ab.
Volumen und Oberfläche der Kugel: ein festes Verhältnis mit Folgen
Zwischen Volumen und Oberfläche einer Kugel besteht eine feste Beziehung: Das Volumen entspricht der Oberfläche mal Radius durch 3. Anschaulich können Sie sich die Kugel als viele schmale Pyramiden vorstellen, deren Spitzen im Mittelpunkt liegen und deren Grundflächen zusammen die Oberfläche bilden. Jede dieser Pyramiden hat den Radius als Höhe, und das Volumen einer Pyramide ist Grundfläche mal Höhe durch 3. Addiert ergibt sich genau die Kugelformel.
Daraus folgt, dass das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen gleich 3 durch r ist. Je größer die Kugel, desto kleiner ist ihre Oberfläche im Vergleich zum Inhalt. Dieser Effekt erklärt viele Alltagsbeobachtungen. Kleine Eiskugeln schmelzen schneller als große, weil sie im Verhältnis mehr Fläche für die Wärme bieten. Kleine Kartoffeln garen schneller, und Tropfen verdunsten umso rascher, je feiner sie sind.
Die Kugel ist außerdem der Körper mit der kleinsten Oberfläche bei gegebenem Volumen. Deshalb formen sich Seifenblasen und Wassertropfen in der Schwerelosigkeit zu Kugeln, und deshalb sind kugelförmige Druckbehälter besonders materialsparend. Für einen gegebenen Inhalt brauchen sie weniger Wandfläche als ein Würfel oder Zylinder. Aus demselben Grund rollen sich Tiere bei Kälte zusammen, um möglichst wenig Körperwärme über die Oberfläche zu verlieren.
Wann die Kugelformeln im Alltag an ihre Grenzen stoßen
Reale Körper sind selten perfekte Kugeln. Ein Fußball ist leicht abgeflacht, eine Orange hat eine dicke Schale, ein Gymnastikball wird unter Belastung oval. Für Überschlagsrechnungen genügt die Kugelformel trotzdem, solange Sie den Durchmesser an mehreren Stellen messen und einen Mittelwert bilden. Bei Hohlkörpern wie Bällen oder Behältern rechnen Sie mit dem Innenradius für den Inhalt und mit der Differenz von Außen- und Innenvolumen für das Material.
Wer statt einer Kugel eine Halbkugel berechnen möchte, etwa für eine Schüssel oder eine Kuppel, halbiert das Volumen. Bei der Oberfläche kommt zur halben Kugelfläche die kreisförmige Schnittfläche hinzu, die der Kreisrechner liefert.