Logarithmen-Rechner: log, ln, lg und ld zu jeder Basis mit Rechenweg

Logarithmus berechnen heißt: den Exponenten zur gesuchten Zahl finden

Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens. Die Gleichung b^y = x fragt nach x, wenn Basis b und Exponent y bekannt sind. Der Logarithmus log_b(x) = y fragt umgekehrt nach dem Exponenten. Aus 2³ = 8 wird ld(8) = 3, aus 10² = 100 wird lg(100) = 2. Die Zahl x heißt Numerus, sie muss größer als 0 sein. Die Basis b muss größer als 0 und ungleich 1 sein, sonst ist der Logarithmus nicht definiert.

lg, ln, ld und log: welche Basis hinter welchem Logarithmus steckt

Drei Basen sind so häufig, dass sie eigene Kürzel haben. Der Rechner erkennt sie und benennt das Ergebnis entsprechend:

Das Kürzel log allein ist mehrdeutig. Auf Taschenrechnern meint es fast immer die Basis 10, in Programmiersprachen und in Hochschulmathematik häufig die Basis e. Geben Sie im Rechner deshalb die Basis ausdrücklich an: 10 für lg, e für ln, 2 für ld.

Wertetabelle der Logarithmen für 1, 2, 10, 100 und 1000

Diese Werte werden am häufigsten nachgeschlagen. Alle Zahlen stammen aus dem Rechenkern, gerundet auf vier Nachkommastellen:

Zwei Muster fallen auf. Beim Zehnerlogarithmus steigt der Wert bei jeder Verzehnfachung um genau 1. Beim natürlichen Logarithmus steigt er jedes Mal um 2,3026, das ist ln(10). Weitere lg-Werte aus dem Rechner: lg(3) = 0,4771, lg(5) = 0,699 und lg(1.000.000) = 6.

Logarithmus von 1 ist immer 0: die Sonderwerte jeder Basis

Einige Werte gelten für jede zulässige Basis und helfen beim Kontrollieren:

• log_b(1) = 0, weil b⁰ = 1. Der Logarithmus von 1 ist also lg(1) = ln(1) = ld(1) = 0.
• log_b(b) = 1, weil b¹ = b. Deshalb ist lg(10) = 1, ld(2) = 1 und ln(e) = 1.
• Zahlen zwischen 0 und 1 haben negative Logarithmen: lg(0,5) = −0,301, ld(0,5) = −1, ln(0,5) = −0,6931.
• 0 und negative Zahlen haben keinen reellen Logarithmus. Der Rechner gibt dann einen Hinweis statt eines Ergebnisses aus.

Logarithmusgesetze: Produkt-, Quotienten- und Potenzregel in einer Tabelle

Die Rechenregeln machen aus Multiplikation eine Addition und aus Potenzen eine Multiplikation. Der Rechner zeigt zu Ihrer Eingabe die Regeln, die sich anwenden lassen:

Die Produktregel funktioniert mit jeder Zerlegung. Der Rechner nimmt den kleinsten Primfaktor, etwa lg(1.000) = lg(2) + lg(500) = 0,301 + 2,699 = 3. Wie sich eine Zahl in Primfaktoren zerlegen lässt, zeigt der Primfaktorzerlegung-Rechner.

Basiswechsel: Logarithmus zu beliebiger Basis mit dem Taschenrechner

Ein einfacher Taschenrechner kennt meist nur lg und ln. Jede andere Basis erreichen Sie mit dem Basiswechsel. Für log3(81) rechnen Sie ln(81) / ln(3) = 4,3944 / 1,0986 = 4. Mit lg statt ln kommt dasselbe heraus, weil sich der Umrechnungsfaktor herauskürzt. Der Rechner führt diesen Schritt immer im Rechenweg auf und prüft das Ergebnis anschließend durch Potenzieren.

Der Basiswechsel ist auch der Weg, eine Exponentialgleichung zu lösen. Aus 1,05^n = 2 wird n = ln(2) / ln(1,05) = 14,2067. Lineare Gleichungen ohne Exponenten lösen Sie dagegen mit dem Rechner für Gleichungen.

Logarithmus im Alltag: pH-Wert, Dezibel und Zinsverdopplung

Logarithmische Skalen fassen riesige Wertebereiche in handliche Zahlen.

pH-Wert: Der pH-Wert ist der negative Zehnerlogarithmus der Wasserstoffionen-Konzentration in mol pro Liter. Bei 0,0000001 mol/l liefert der Rechner lg = −7, der pH-Wert ist also 7 (neutral). Bei 0,001 mol/l ist lg = −3, der pH-Wert 3, die Lösung sauer.

Dezibel: Der Pegel in Dezibel ist 10 · lg des Leistungsverhältnisses. Doppelte Leistung bedeutet 10 · 0,301, also rund 3 dB mehr. Zehnfache Leistung ergibt 10 dB, hundertfache 20 dB, tausendfache 30 dB.

Zinsverdopplung: Wie lange ein Guthaben braucht, um sich zu verdoppeln, ist ein Logarithmus zur Basis 1 + Zinssatz. Die Tabelle nennt die Werte aus dem Rechner:

Den Verlauf Jahr für Jahr mit Einzahlungen berechnet der Zinseszinsrechner. Wie Prozentsätze in Wachstumsfaktoren wie 1,05 übersetzt werden, erklärt der Prozentrechner.

Logarithmus im Kopf abschätzen: Stellenzahl und lg 2 als Anker

Für den Zehnerlogarithmus gibt es eine schnelle Plausibilitätsprüfung: Eine Zahl mit n Stellen vor dem Komma hat einen lg zwischen n − 1 und n. Die vierstellige Zahl 2.026 hat also einen lg zwischen 3 und 4. Genauer wird es mit drei Ankerwerten aus der Tabelle oben: lg(2) = 0,301, lg(3) = 0,4771, lg(5) = 0,699. Daraus folgt etwa lg(200) = 2,301, denn 200 ist 2 · 100.

Für den Zweierlogarithmus hilft 2¹⁰ = 1.024. Deshalb liegt ld(1.000) mit 9,9658 knapp unter 10. Wer grob in Zweierpotenzen denkt, schätzt ld von Tausend, einer Million oder einer Milliarde auf etwa 10, 20 und 30.

Typische Fehler mit dem Logarithmus auf dem Taschenrechner

• log und ln verwechselt: Wer ln(100) statt lg(100) rechnet, erhält 4,6052 statt 2. Prüfen Sie, welche Basis die Aufgabe verlangt.
• Summenregel erfunden: log(u + v) ist nicht log(u) + log(v). Die Produktregel gilt nur für Produkte.
• Klammer beim Basiswechsel vergessen: ln(81) / ln(3) muss als zwei getrennte Logarithmen eingegeben werden, nicht als ln(81 / 3).
• Basis 1 oder negative Basis: Beides ist nicht zulässig, 1 hoch jeder Zahl bleibt 1.
• Numerus 0: Der Logarithmus von 0 existiert nicht, sehr kleine Zahlen haben stark negative Logarithmen, etwa lg(0,00001) = −5.