Was gibt ein Logarithmus an? Den gesuchten Exponenten verstehen
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Ein Logarithmus beantwortet die Frage, mit welchem Exponenten man eine Basis potenzieren muss, um eine bestimmte Zahl zu erhalten. Der Logarithmus von 64 zur Basis 2 ist 6, weil 2 hoch 6 gleich 64 ist. Er ist damit die Umkehrung des Potenzierens und löst Gleichungen, in denen die Unbekannte im Exponenten steht.
lg(1.000)
3
Umkehrung: 10^3 = 1.000
ln (Basis e)
6,9078
lg (Basis 10)
3
ld (Basis 2)
9,9658
Rechenweg
- Gesucht: lg(1.000), also der Exponent y mit 10^y = 1.000.
- Basiswechsel: log_b(x) = ln(x) / ln(b) = 6,9078 / 2,3026 = 3
- Probe (Umkehrung): 10^3 = 1.000
- Potenzregel: lg(1.000) = lg(10^3) = 3 · lg(10) = 3
- Produktregel: lg(1.000) = lg(2 · 500) = lg(2) + lg(500) = 0,301 + 2,699 = 3
Angewendete Rechenregeln
- Potenzregel log_b(bⁿ) = n
- Produktregel log_b(u · v) = log_b(u) + log_b(v)
Häufige Werte zur Basis 10
| x | lg(x) |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 2 | 0,301 |
| 3 | 0,4771 |
| 5 | 0,699 |
| 10 | 1 |
| 100 | 2 |
| 1.000 | 3 |
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Formel
Der Logarithmus von x zur Basis b ist die Zahl y, für die b hoch y gleich x gilt. Mit dem Taschenrechner berechnen Sie ihn über den Basiswechsel: natürlicher Logarithmus von x geteilt durch natürlichen Logarithmus von b.
log_b(x) = y genau dann, wenn b^y = x; log_b(x) = ln(x) / ln(b)
- b
- Basis, positiv und ungleich 1
- x
- Argument, die Zahl, deren Logarithmus gesucht ist, muss positiv sein
- y
- Ergebnis, der gesuchte Exponent
Rechenbeispiel: Logarithmus von 64 zur Basis 2
- 1
Basis und Argument festlegen, gesucht ist der Exponent y mit 2^y = 64
= Basis 2, Argument 64
- 2
Natürlichen Logarithmus des Arguments bestimmen: ln(64)
= 4,1589
- 3
Zum Vergleich den Zehnerlogarithmus bestimmen: lg(64)
= 1,8062
- 4
Basiswechsel: ln(64) geteilt durch ln(2) = 4,1589 / 0,6931
= 6
- 5
Probe durch Umkehrung: 2 hoch 6
= 64
Der Logarithmus von 64 zur Basis 2, kurz ld(64), ist 6. Egal ob Sie mit ln oder lg rechnen: Teilen Sie den Logarithmus des Arguments durch den Logarithmus der Basis, kommt immer dasselbe Ergebnis heraus.
Typische Fehler
errorDen Logarithmus einer Summe wie eine Summe von Logarithmen behandelt
Die Produktregel gilt nur für Produkte: log(u · v) = log(u) + log(v). Für log(u + v) gibt es keine Vereinfachung. Wer log(2 + 62) in log(2) + log(62) zerlegt, erhält ein falsches Ergebnis, der Wert muss zuerst addiert werden.
errorBasis und Argument beim Basiswechsel vertauscht
Im Zähler steht der Logarithmus der Zahl, deren Logarithmus gesucht ist, im Nenner der Logarithmus der Basis. Umgekehrt gerechnet ergibt sich der Kehrwert, bei ld(64) also etwa 0,1667 statt 6. Eine kurze Probe durch Potenzieren deckt den Fehler sofort auf.
Exponentialgleichungen mit dem Logarithmus lösen
Der Logarithmus wird vor allem dann gebraucht, wenn die Unbekannte im Exponenten steht. Mit Addieren, Multiplizieren oder Wurzelziehen kommt man an sie nicht heran. Erst der Logarithmus holt den Exponenten herunter, denn es gilt log(b hoch x) gleich x mal log(b). Damit wird aus einer Exponentialgleichung eine gewöhnliche lineare Gleichung.
Ein Beispiel: Eine Bakterienkultur verdoppelt sich jede Stunde und beginnt mit 1.000 Zellen. Nach wie vielen Stunden sind es 64.000? Die Gleichung lautet 1.000 mal 2 hoch t gleich 64.000. Teilen durch 1.000 ergibt 2 hoch t gleich 64, und der Zweierlogarithmus liefert t gleich 6 Stunden. Liegt das Ziel nicht so glatt, etwa bei 50.000 Zellen, hilft der Basiswechsel: ln(50) geteilt durch ln(2) ergibt rund 5,64 Stunden.
Dasselbe Muster steckt hinter der Frage, wie lange ein Kapital zum Verdoppeln braucht, wie lange ein Medikament im Körper bis zur Hälfte abgebaut ist oder wie viele Halbierungsschritte eine binäre Suche in einer sortierten Liste benötigt.
Logarithmische Skalen im Alltag lesen
Wo Werte über viele Größenordnungen reichen, sind logarithmische Skalen üblich. Auf ihnen haben gleiche Abstände dieselbe Bedeutung wie gleiche Faktoren. Ein Schritt nach rechts bedeutet dann nicht plus 10, sondern mal 10. Diagramme mit logarithmischer Achse erkennen Sie an Beschriftungen wie 1, 10, 100, 1.000 in gleichen Abständen. Exponentielles Wachstum erscheint dort als Gerade, was Vergleiche zwischen Wachstumsraten sehr erleichtert.
Beim Lesen solcher Skalen hilft eine Faustregel: Der Zehnerlogarithmus einer Zahl ist ungefähr ihre Stellenzahl minus eins. Die 64 hat zwei Stellen, ihr lg liegt also zwischen 1 und 2, genauer bei 1,8062. Bekannte Beispiele sind die Richterskala für Erdbeben, die Dezibelskala für Lautstärke und der pH-Wert. Ein Erdbeben der Stärke 6 setzt nicht etwas mehr, sondern rund dreißigmal so viel Energie frei wie eines der Stärke 5. Wer das weiß, liest Nachrichten und Messwerte mit anderen Augen.