Median berechnen: Zentralwert, Quartile und Modus bei gerader und ungerader Anzahl

Der Median ist der Wert, der eine sortierte Reihe in zwei gleich große Hälften teilt

Der Median, auch Zentralwert genannt, halbiert eine Zahlenreihe: Mindestens die Hälfte der Werte ist kleiner oder gleich, mindestens die Hälfte größer oder gleich. Anders als der Durchschnitt hängt er nur von der Reihenfolge ab, nicht von der Höhe der äußeren Werte. Deshalb wird er überall dort verwendet, wo einzelne Extremwerte das Bild verfälschen würden, etwa bei Einkommen, Mieten, Hauspreisen oder Wartezeiten.

Median berechnen in drei Schritten

1. Alle Werte der Größe nach sortieren, doppelte Werte bleiben einzeln stehen.
2. Die Anzahl n bestimmen und prüfen, ob sie gerade oder ungerade ist.
3. Bei ungerader Anzahl den Wert an Position (n + 1) / 2 ablesen, bei gerader Anzahl den Mittelwert der Werte an Position n/2 und n/2 + 1 bilden.

Mehr braucht es nicht. Die Rechenarbeit liegt fast ganz im Sortieren, und genau da passieren die meisten Fehler.

Median berechnen bei ungerader Anzahl: der mittlere Wert

Nehmen Sie die Werte 7, 3, 9, 1, 5. Sortiert lauten sie 1, 3, 5, 7, 9. Die Anzahl ist 5, also ungerade, und die Mitte liegt an Position 3. Der Median ist 5. Links davon stehen zwei Werte, rechts davon ebenfalls zwei.

Bei elf Werten, zum Beispiel 1 bis 11, liegt die Mitte an Position 6, der Median ist 6. Die Faustregel: Bei ungerader Anzahl ist der Median immer ein Wert, der tatsächlich in der Reihe vorkommt.

Median berechnen bei gerader Anzahl: der Mittelwert der beiden mittleren Werte

Kommt zur Reihe oben noch die 11 hinzu, sortiert also 1, 3, 5, 7, 9, 11, dann gibt es sechs Werte und keinen einzelnen mittleren. Die beiden mittleren stehen an Position 3 und 4: die 5 und die 7. Der Median ist (5 + 7) / 2 = 6. Dieser Wert kommt in der Reihe gar nicht vor, das ist bei gerader Anzahl normal.

Quartile berechnen: welche Methode der Median-Rechner verwendet

Quartile teilen die sortierte Reihe in vier Teile. Das untere Quartil Q1 trennt das untere Viertel ab, das obere Quartil Q3 das obere Viertel. Der Median ist zugleich das mittlere Quartil Q2. Der Abstand Q3 − Q1 heißt Interquartilsabstand und beschreibt, wie breit die mittleren 50 Prozent der Werte streuen.

Für Quartile gibt es mehrere gebräuchliche Verfahren. Der Rechner verwendet die Methode Median der Hälften: Die Reihe wird am Median geteilt, bei ungerader Anzahl bleibt der Median selbst außen vor. Q1 ist dann der Median der unteren Hälfte, Q3 der Median der oberen.

• Bei 1, 3, 5, 7, 9 sind die Hälften 1, 3 und 7, 9. Daraus folgen Q1 = 2 und Q3 = 8, der Interquartilsabstand ist 6.
• Bei 1, 3, 5, 7, 9, 11 sind die Hälften 1, 3, 5 und 7, 9, 11. Daraus folgen Q1 = 3 und Q3 = 9.
• Bei 3, 5, 5, 7, 8, 8, 8, 10, 12 sind die Hälften 3, 5, 5, 7 und 8, 10, 12 plus die zweite 8. Daraus folgen Q1 = 5 und Q3 = 9.

Tabellenprogramme interpolieren oft zwischen benachbarten Werten und kommen bei kurzen Reihen auf leicht andere Quartile. Beide Ergebnisse sind richtig, solange die Methode genannt wird.

Aus Minimum, Q1, Median, Q3 und Maximum entsteht die sogenannte Fünf-Punkte-Zusammenfassung, die Grundlage des Boxplots. Die Box reicht von Q1 bis Q3, der Strich in der Box markiert den Median, die Linien nach außen reichen bis zu den kleinsten und größten Werten. Für die Reihe 1, 3, 5, 7, 9 lauten die fünf Punkte 1, 2, 5, 8 und 9. Liegt der Medianstrich nicht mittig in der Box, ist die Verteilung schief, noch bevor Sie einen Mittelwert ausgerechnet haben.

Median und Mittelwert bei Ausreißern: das Beispiel mit Gehältern

In einem kleinen Team verdienen sieben Beschäftigte monatlich 2.400, 2.600, 2.800, 3.000, 3.100, 3.300 und 3.500 Euro brutto. Median und Mittelwert liegen dicht beieinander. Kommt ein Geschäftsführer mit 12.000 Euro hinzu, ändert sich das Bild:

Der Mittelwert springt um mehr als 1.100 Euro nach oben, obwohl nur eine einzige Person dazugekommen ist. Kein einziger der sieben Beschäftigten verdient so viel. Der Median bewegt sich dagegen nur um 50 Euro. Deshalb berichten Statistikämter bei Einkommen meist den Median. Den Mittelwert berechnen Sie bei Bedarf mit dem Durchschnittsrechner.

Modus berechnen und wann er mehr sagt als der Median

Der Modus ist der häufigste Wert einer Reihe. In 3, 5, 5, 7, 8, 8, 8, 10, 12 kommt die 8 dreimal vor, sie ist der Modus. Er ist das einzige der drei Lagemaße, das auch für nicht zahlenmäßige Daten funktioniert, etwa für die häufigste Schuhgröße im Sortiment oder die meistgewählte Antwort einer Umfrage. Kommt jeder Wert nur einmal vor, gibt es keinen Modus.

Plausibilitätsprüfung für den Median im Kopf

Zählen Sie nach dem Ablesen: Links und rechts vom Median müssen gleich viele Werte stehen. Bei gerader Anzahl muss der Median zwischen den beiden mittleren Werten liegen, nie außerhalb. Und er liegt immer zwischen Minimum und Maximum, anders als etwa eine falsch gerechnete Streuung. Weicht der Mittelwert stark vom Median ab, lohnt ein Blick auf die äußeren Werte: Meist steckt ein Ausreißer oder ein Tippfehler dahinter.

Typische Fehler beim Median in der Statistik

• Die Werte werden nicht sortiert, und der Wert in der Mitte der Eingabe wird genommen.
• Doppelte Werte werden nur einmal gezählt, wodurch sich die Mitte verschiebt.
• Bei gerader Anzahl wird nur einer der beiden mittleren Werte genommen statt ihres Mittelwerts.
• Die Position wird mit dem Wert verwechselt: Bei neun Werten ist der Median der fünfte Wert, nicht die Zahl 5.
• Quartile aus verschiedenen Methoden werden gemischt verglichen.

Wer zusätzlich wissen will, wie stark die Werte um den Mittelwert streuen, nutzt den Standardabweichung-Rechner. Übungsreihen in beliebiger Länge erzeugt der Zufallszahlen-Generator.