Was verrät ein Boxplot? Median, Quartile und Ausreißer lesen
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Ein Boxplot fasst eine Datenreihe in fünf Kennzahlen zusammen: Minimum, unteres Quartil, Median, oberes Quartil und Maximum. Die Box umschließt die mittlere Hälfte der Werte, der Strich darin markiert den Median. Werte, die mehr als das 1,5-Fache des Interquartilsabstands außerhalb der Box liegen, gelten als Ausreißer.
Trennen Sie die Werte mit Komma, Semikolon, Leerzeichen oder Zeilenumbruch. Die Reihenfolge spielt keine Rolle.
Median
3
Mittelwert zum Vergleich
4,2857
Unteres Quartil Q1
2
Oberes Quartil Q3
7
Interquartilsabstand
5
Modus
3
2-mal
Sortierte Werte (n = 7)
1233579
Der Mittelwert liegt über dem Median: Einzelne große Werte ziehen den Durchschnitt nach oben (rechtsschief). Quartile: Median der Hälften (ohne den Median bei ungerader Anzahl).
Rechenweg
- Werte aufsteigend sortieren: 1, 2, 3, 3, 5, 7, 9
- Anzahl n = 7, also ungerade.
- Bei ungerader Anzahl ist der Median der mittlere Wert an Position 4: 3
- Quartile nach der Methode „Median der Hälften“ (der Median selbst bleibt bei ungerader Anzahl außen vor).
- Untere Hälfte: 1, 2, 3 → Q1 = 2
- Obere Hälfte: 5, 7, 9 → Q3 = 7
- Interquartilsabstand: IQR = Q3 − Q1 = 7 − 2 = 5
- Modus (häufigster Wert, 2-mal): 3
- Mittelwert zum Vergleich: 30 / 7 = 4,2857. Der Mittelwert liegt über dem Median: Einzelne große Werte ziehen den Durchschnitt nach oben (rechtsschief).
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Mehr Infos baldDirekt zum Tool: Median-Rechner öffnen
Formel
Der Interquartilsabstand ist das obere Quartil minus das untere Quartil. Als Ausreißer gilt jeder Wert, der kleiner ist als das untere Quartil minus das 1,5-Fache dieses Abstands oder größer als das obere Quartil plus das 1,5-Fache.
IQR = Q3 − Q1; Ausreißer, wenn x < Q1 − 1,5 · IQR oder x > Q3 + 1,5 · IQR
- Q1
- unteres Quartil, ein Viertel der Werte liegt darunter
- Q3
- oberes Quartil, drei Viertel der Werte liegen darunter
- IQR
- Interquartilsabstand, Breite der Box
Rechenbeispiel: Fünf-Punkte-Zusammenfassung für 7, 1, 3, 3, 9, 5, 2
- 1
Werte sortieren: 1, 2, 3, 3, 5, 7, 9 und Anzahl bestimmen
= n = 7
- 2
Kleinsten und größten Wert ablesen
= Minimum 1, Maximum 9
- 3
Median als mittleren Wert an Position 4 ablesen
= 3
- 4
Unteres Quartil als Median der unteren Hälfte 1, 2, 3 und oberes Quartil als Median der oberen Hälfte 5, 7, 9
= Q1 = 2, Q3 = 7
- 5
Interquartilsabstand berechnen: Q3 minus Q1
= 5
- 6
Mittelwert zum Vergleich: 30 geteilt durch 7
= 4,2857
Die Box reicht von 2 bis 7, der Median liegt mit 3 deutlich links in der Box. Die Grenzen für Ausreißer liegen bei 2 minus 7,5 und 7 plus 7,5, also bei −5,5 und 14,5. Kein Wert fällt heraus. Der Mittelwert 4,2857 liegt über dem Median, die Verteilung ist rechtsschief.
Typische Fehler
errorDie Box als Bereich aller typischen Werte gelesen
Die Box enthält nur die mittlere Hälfte der Werte. Ein Viertel liegt darunter, ein Viertel darüber. Wer die Box für den Normalbereich hält, stuft die Hälfte aller Beobachtungen fälschlich als ungewöhnlich ein.
errorBoxplots mit unterschiedlicher Quartilsmethode verglichen
Für Quartile gibt es mehrere Rechenwege, und bei kleinen Datenmengen liefern sie unterschiedliche Werte. Vergleichen Sie Boxplots nur, wenn alle mit demselben Verfahren erstellt wurden, etwa alle mit der Methode Median der Hälften.
Vom Median zum Boxplot
Der Median teilt eine sortierte Datenreihe in zwei gleich große Hälften. Wendet man dieselbe Idee noch einmal auf jede Hälfte an, entstehen die Quartile, und die Reihe ist in vier Viertel geteilt. Zusammen mit dem kleinsten und dem größten Wert ergibt das die Fünf-Punkte-Zusammenfassung. Der Boxplot macht aus diesen fünf Zahlen ein Bild: eine Box vom unteren zum oberen Quartil, einen Strich für den Median und zwei Linien, die sogenannten Fühler oder Whisker, bis zu den äußersten Werten, die noch nicht als Ausreißer gelten.
Der Vorteil gegenüber Mittelwert und Standardabweichung liegt in der Robustheit. Ein einzelner extremer Wert verschiebt den Median und die Quartile kaum, während er den Mittelwert stark beeinflusst. Deshalb werden Einkommen, Mieten oder Wartezeiten häufig als Boxplot oder mit Median und Quartilen dargestellt. Beim Lesen lohnt sich die Reihenfolge von innen nach außen: erst die Lage des Medians, dann die Breite der Box als Maß für die Streuung der mittleren Hälfte, zuletzt die Länge der Fühler und einzelne Punkte außerhalb.
Ausreißer mit dem Interquartilsabstand erkennen
Die gebräuchlichste Regel für Ausreißer stammt vom Statistiker John Tukey. Sie verlängert die Box um das 1,5-Fache ihrer Breite nach beiden Seiten. Was außerhalb dieser Zäune liegt, wird als einzelner Punkt eingezeichnet. Im Beispiel ist die Box 5 breit, die Zäune liegen bei −5,5 und 14,5, und alle Werte bleiben innerhalb. Käme ein Wert von 20 hinzu, würde er als Ausreißer markiert.
Der Vorteil dieser Regel ist, dass sie sich nicht von den Ausreißern selbst täuschen lässt. Eine Grenze auf Basis der Standardabweichung würde durch einen extremen Wert mit verschoben, weil dieser die Standardabweichung aufbläht. Die Quartile bleiben davon weitgehend unberührt. Für sehr kleine Datenmengen mit fünf oder sechs Werten ist die Regel allerdings grob, dort ist ein kritischer Blick auf die Einzelwerte oft aufschlussreicher.