Nullstellen berechnen: Rechner mit pq-Formel, Substitution und Polynomdivision

Nullstellen berechnen heißt f(x) = 0 lösen, und der Funktionstyp bestimmt das Verfahren

Eine Nullstelle ist ein x-Wert, an dem der Funktionswert null ist. Grafisch liegt dort ein Schnitt- oder Berührpunkt mit der x-Achse. Rechnerisch steht jedes Mal dieselbe Aufgabe an: die Gleichung f(x) = 0 lösen. Welcher Weg dorthin führt, hängt vom Aufbau des Funktionsterms ab. Ein Polynom 2. Grades verlangt einen anderen Ansatz als eines 4. Grades ohne ungerade Potenzen, und für Sinus oder e-Funktionen gibt es meist gar keine Formel. Die folgenden Abschnitte zeigen jedes Verfahren mit Beispielen, die der Rechenkern dieser Seite gelöst hat.

Welches Verfahren beim Nullstellen berechnen zu welcher Funktion passt

Der Rechner prüft den Term in einer festen Reihenfolge: Ist es ein Polynom? Fehlt das Absolutglied? Kommen nur gerade Potenzen vor? Erst wenn keine Abkürzung greift, rät er eine Nullstelle oder sucht numerisch.

Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. Das ist die erste Kontrolle für jedes Ergebnis.

Nullstellen quadratischer Funktionen mit der pq-Formel bestimmen

Bei einer quadratischen Funktion bringen Sie die Gleichung in die Normalform x² + px + q = 0 und setzen ein: x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q). Für x² − 5x + 6 ist p = −5 und q = 6. Der Rechner schreibt 2,5 ± √(6,25 − 6) = 2,5 ± √0,25 und erhält x₁ = 3 und x₂ = 2. Steht vor x² eine andere Zahl als 1, wird zuerst geteilt: Aus 2x² − 8 wird x² − 4 = 0, die Nullstellen sind −2 und 2.

Der Ausdruck unter der Wurzel entscheidet über die Anzahl. Bei x² − 4x + 4 ist er 0, es gibt die doppelte Nullstelle x = 2. Bei x² + 1 ist er −1, es gibt keine reelle Nullstelle. Wie Diskriminante, abc- und pq-Formel im Detail zusammenhängen, erklärt der Rechner für quadratische Gleichungen.

Nullstellen von Funktionen 4. Grades: ausklammern oder substituieren

Fehlt das Absolutglied, steckt in jedem Summanden mindestens ein x. Dann klammern Sie die kleinste Potenz aus und nutzen den Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Aus x⁴ − x² wird x² · (x² − 1). Der Faktor x² liefert x = 0 als doppelte Nullstelle, der Restfaktor x² − 1 die Werte −1 und 1.

Kommen nur die Potenzen x⁴, x² und eine Zahl vor, heißt die Gleichung biquadratisch. Mit z = x² wird sie quadratisch. Für x⁴ − 5x² + 4 entsteht z² − 5z + 4 = 0 mit z₁ = 4 und z₂ = 1. Die Rücksubstitution x² = 4 und x² = 1 ergibt vier Nullstellen: −2, −1, 1 und 2.

Die letzte Zeile zeigt den häufigsten Stolperstein: x² = −1 hat keine reelle Lösung, dieser Wert fällt bei der Rücksubstitution weg.

Nullstellen einer kubischen Funktion: raten und Polynomdivision

Für Gleichungen 3. Grades gibt es zwar die Cardanischen Formeln, im Unterricht nutzt man aber einen kürzeren Weg. Bei ganzzahligen Koeffizienten ist jede ganzzahlige Nullstelle ein Teiler des Absolutglieds. Für x³ − 6x² + 11x − 6 testet der Rechner die Teiler von 6 und findet sofort f(1) = 0. Dann teilt er durch den Linearfaktor: (x³ − 6x² + 11x − 6) : (x − 1) = x² − 5x + 6. Der Restfaktor ist quadratisch und liefert mit der pq-Formel 2 und 3. Die Linearfaktorzerlegung lautet (x − 1) · (x − 2) · (x − 3).

Ist der Leitkoeffizient nicht 1, kommen auch Brüche in Frage. Bei 2x³ − 3x² − 3x + 2 testet der Rechner Teiler von 2 durch Teiler von 2 und findet x = 0,5. Die Division durch (2x − 1) ergibt x² − x − 2, daraus folgen −1 und 2. Polynomdivision ist hier kein Selbstzweck: Sie senkt den Grad um eins, bis eine Formel greift.

Vielfachheit von Nullstellen: Schnittpunkt oder Berührpunkt

Taucht ein Linearfaktor mehrfach auf, ist die Nullstelle mehrfach. Bei x³ + x² − x − 1 = (x + 1)² · (x − 1) ist x = −1 doppelt, der Graph berührt dort die x-Achse und kehrt um. Bei x³ − 3x² + 3x − 1 = (x − 1)³ ist x = 1 dreifach. Der Graph schneidet die Achse, läuft aber an dieser Stelle waagerecht. Merkregel: Bei ungerader Vielfachheit wechselt f das Vorzeichen, bei gerader nicht. Der Rechner kennzeichnet deshalb jede Nullstelle als Schnittpunkt oder Berührpunkt.

Nullstellen numerisch ausrechnen, wenn keine Formel greift

Hat ein Polynom 3. Grades keine rationale Nullstelle, hilft Raten nicht weiter. Bei x³ − 2x − 5 prüft der Rechner alle vier Kandidaten ±1 und ±5 ohne Treffer. Er sucht dann zwischen den Extremstellen nach einem Vorzeichenwechsel, halbiert das Intervall so lange, bis es winzig ist, und verfeinert mit dem Newton-Verfahren. Ergebnis: x ≈ 2,0946.

Für Funktionen, die kein Polynom sind, geht der Rechner ebenso vor, allerdings nur im angegebenen Intervall. sin(x) hat zwischen −4 und 4 die Nullstellen −3,1416, 0 und 3,1416, also −π, 0 und π. ln(x) hat die Nullstelle 1, e^x − 3x die beiden Nullstellen 0,6191 und 1,5121. Polstellen wie bei 1/x sortiert der Rechner aus, weil dort zwar das Vorzeichen wechselt, der Funktionswert aber nicht null wird.

Praxisbeispiel Nullstellen: Gewinnschwelle und Gewinngrenze

Ein Betrieb beschreibt seinen Gewinn mit G(x) = −x³ + 4x² + 7x − 10, x in tausend Stück, G in tausend Euro. Gesucht sind die Mengen, ab denen und bis zu denen sich die Produktion lohnt. Der Rechner rät x = 1, teilt durch (x − 1) und erhält −x² + 3x + 10. Nach dem Teilen durch −1 liefert die pq-Formel 1,5 ± √12,25, also 5 und −2. Die Linearfaktorzerlegung lautet −(x + 2) · (x − 1) · (x − 5).

Die negative Menge ergibt wirtschaftlich keinen Sinn. Die Gewinnschwelle liegt bei 1.000 Stück, die Gewinngrenze bei 5.000 Stück. Dazwischen ist G positiv. Wo der Gewinn am größten ist, beantwortet der Extrempunkte-Rechner über die erste Ableitung.

Plausibilitätsprüfung für Nullstellen: Grad, Vorzeichen und Probe

Drei schnelle Kontrollen decken die meisten Fehler auf. Erstens die Anzahl: Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen, mehrfache mitgezählt genau n, wenn es vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Zweitens das Produkt: Bei Leitkoeffizient 1 und Grad 3 ist das Produkt der Nullstellen das Absolutglied mit umgekehrtem Vorzeichen. Für x³ − 6x² + 11x − 6 ergibt 1 · 2 · 3 genau 6. Drittens die Probe: Setzen Sie eine gefundene Nullstelle ein. f(2) = 8 − 24 + 22 − 6 ist 0, passt.

Für die Größenordnung hilft der Blick auf die Extremstellen. Zwischen zwei benachbarten Nullstellen eines Polynoms liegt immer mindestens eine Stelle mit waagerechter Tangente. Die Nullstellen der Ableitung, also die Kandidaten für Hoch- und Tiefpunkte, liefert der Ableitungsrechner.

Typische Fehler beim Nullstellen bestimmen

Der häufigste Fehler ist das Teilen durch x statt Ausklammern: Wer x³ − 4x = 0 durch x teilt, verliert die Nullstelle x = 0. Zweitens wird bei der Substitution die Rücksubstitution vergessen, dann stehen die z-Werte 4 und 1 statt der vier x-Werte im Ergebnis. Drittens werden negative z-Werte unter die Wurzel gesetzt. Viertens wird bei der pq-Formel die Normalform übersprungen. Fünftens werden doppelte Nullstellen nur einmal gezählt, obwohl sie für die Linearfaktorzerlegung zweimal gebraucht werden. Wer anschließend die Krümmung untersucht, findet im Wendepunkt-Rechner die Nullstellen der zweiten Ableitung.