Nullstellen berechnen: Welches Verfahren passt zu welcher Funktion?
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Welches Verfahren passt, verrät der Funktionsterm. Lineare Funktionen stellen Sie um, quadratische lösen Sie mit der pq-Formel. Fehlt die Zahl ohne x, klammern Sie x aus. Stehen nur x⁴, x² und eine Zahl da, substituieren Sie z = x². Bei Grad 3 raten Sie eine Nullstelle und dividieren. Bleibt nichts davon, rechnen Sie numerisch.
Potenzen mit ^ schreiben (x^2), Mal-Punkt darf fehlen (3x). Erlaubt sind auch sin, cos, tan, e^x, ln und sqrt sowie Gleichungen wie x^2 = 4.
Der Suchbereich gilt nur für Funktionen, die kein Polynom sind. Bei Polynomen werden alle reellen Nullstellen bestimmt.
Anzahl Nullstellen
3
Funktionstyp
kubische Funktion
Linearfaktoren
(x − 1) · (x − 2) · (x − 3)
Nullstellen
| x | Punkt | Vielfachheit | Art |
|---|---|---|---|
| x1 = 1 | N(1 | 0) | 1 | Schnittpunkt (mit Vorzeichenwechsel) |
| x2 = 2 | N(2 | 0) | 1 | Schnittpunkt (mit Vorzeichenwechsel) |
| x3 = 3 | N(3 | 0) | 1 | Schnittpunkt (mit Vorzeichenwechsel) |
Rechenweg
- Ansatz: f(x) = 0, also x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0
- Polynom 3. Grades in Normalform: f(x) = x³ − 6x² + 11x − 6
- Nullstelle raten (Teiler des Absolutglieds -6): getestet 1. f(1) = 0, also ist x = 1 eine Nullstelle.
- Polynomdivision (Horner-Schema): (x³ − 6x² + 11x − 6) : (x − 1) = x² − 5x + 6
- Restfaktor x² − 5x + 6 = 0 mit der pq-Formel lösen.
- pq-Formel mit p = -5 und q = 6: x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q) = 2,5 ± √(6,25 − 6) = 2,5 ± √0,25
- x₁ = 3, x₂ = 2
- Nullstellen: x = 1; x = 2; x = 3
- Linearfaktorzerlegung: f(x) = (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)
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Formel
Ansatz ist immer f von x gleich null. Danach senkt jedes Verfahren den Grad, bis eine lineare oder quadratische Gleichung übrig bleibt. Für die quadratische gilt die pq-Formel: x ist minus p halbe plus oder minus die Wurzel aus p halbe zum Quadrat minus q.
f(x) = 0; x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)
- p
- Faktor vor x in der Normalform x² + px + q = 0
- q
- Zahl ohne x in der Normalform
- Grad
- höchste Potenz von x, zugleich die Höchstzahl möglicher Nullstellen
Rechenbeispiel: f(x) = x³ − 6x² + 11x − 6
- 1
Funktionstyp bestimmen: Polynom mit höchster Potenz x³, alle Glieder vorhanden, also weder Ausklammern noch Substitution möglich
= Grad 3
- 2
Teiler des Absolutglieds −6 testen: f(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0
= x = 1
- 3
Polynomdivision durch (x − 1) ergibt den Restfaktor x² − 5x + 6
= quadratischer Restfaktor
- 4
pq-Formel mit p = −5 und q = 6: 2,5 ± √0,25 liefert x = 2 und als größte Nullstelle
= x = 3
- 5
Linearfaktorzerlegung (x − 1) · (x − 2) · (x − 3) zählen
= 3 Nullstellen
Der Weg führt vom Grad 3 über eine geratene Nullstelle zur pq-Formel. Drei Nullstellen sind bei Grad 3 das Maximum, die Funktion ist damit vollständig in Linearfaktoren zerlegt.
Typische Fehler
errorGleichung durch x geteilt statt x ausgeklammert
Bei x³ = 4x führt das Teilen durch x auf x² = 4 und damit nur auf −2 und 2. Die Nullstelle 0 geht verloren. Bringen Sie alles auf eine Seite, klammern Sie x aus und wenden Sie den Satz vom Nullprodukt an: x · (x² − 4) = 0 liefert −2, 0 und 2.
errorBei Grad 3 sofort numerisch gerechnet
Prüfen Sie bei ganzzahligen Koeffizienten zuerst die Teiler des Absolutglieds. Bei x³ − 7x + 6 passt schon x = 1, die Division ergibt x² + x − 6 und damit die exakten Nullstellen −3 und 2. Numerische Näherungen sind nur nötig, wenn kein Kandidat passt.
Den Funktionsterm lesen, bevor Sie Nullstellen berechnen
Die meiste Zeit beim Nullstellen berechnen geht nicht beim Rechnen verloren, sondern bei der Wahl des falschen Wegs. Ein kurzer Blick auf den Term erspart Umwege. Prüfen Sie in dieser Reihenfolge: Welchen Grad hat die Funktion? Fehlt die Zahl ohne x? Kommen nur gerade Potenzen vor? Ist eine Nullstelle unter den Teilern des Absolutglieds zu finden?
Fehlt das Absolutglied, ist Ausklammern immer der erste Schritt, egal welchen Grad die Funktion hat. Aus x⁴ − x² wird x² · (x² − 1), und der Restfaktor ist wieder quadratisch. Stehen nur gerade Potenzen im Term, führt die Substitution z = x² zum Ziel, wobei negative Werte für z bei der Rücksubstitution wegfallen. Erst wenn beides nicht greift und der Grad höher als 2 ist, kommt das Raten ins Spiel.
Raten, dividieren und wann das Raten scheitert
Beim Raten hilft eine Regel: Hat ein Polynom ganzzahlige Koeffizienten und den Leitkoeffizienten 1, ist jede ganzzahlige Nullstelle ein Teiler des Absolutglieds. Bei −6 sind das ±1, ±2, ±3 und ±6, also höchstens acht Proben. Ist der Leitkoeffizient eine andere Zahl, kommen Brüche aus Teilern des Absolutglieds durch Teiler des Leitkoeffizienten hinzu.
Jede gefundene Nullstelle senkt nach der Division den Grad um eins. Bei Grad 3 genügt also eine geratene Nullstelle, danach übernimmt die pq-Formel. Bei Grad 4 ohne Substitutionsmöglichkeit brauchen Sie zwei. Scheitert das Raten, hat das Polynom keine rationale Nullstelle. Dann bleibt die numerische Suche, die mit Intervallhalbierung und Newton-Verfahren beliebig genaue Näherungen liefert, aber keine exakten Wurzelausdrücke.
Für Exponential- und Winkelfunktionen gibt es diese Kette nicht. Hier lösen Sie entweder mit der Umkehrfunktion, etwa e^x = 2 mit x = ln 2, oder Sie suchen numerisch in einem sinnvoll gewählten Intervall. Wählen Sie das Intervall so, dass es alle für die Aufgabe relevanten x-Werte abdeckt, denn außerhalb davon findet keine Suche statt.