rechnerportal
Startseite › Taschenrechner › Primfaktorzerlegung
Taschenrechner · Rechner

Primfaktorzerlegung Rechner: Zahlen in Primfaktoren zerlegen, mit Teilern, ggT und kgV

Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik

Mit dem Primfaktorzerlegung Rechner zerlegen Sie jede ganze Zahl bis eine Billion in ihre Primfaktoren, zum Beispiel 120 = 2³ · 3 · 5. Sie sehen jeden Divisionsschritt, die Exponentschreibweise, die Anzahl und die Summe aller Teiler sowie die vollständige Teilerliste. Tragen Sie eine zweite Zahl ein, berechnet der Rechner zusätzlich den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache und prüft das Ergebnis mit der Kontrolle ggT mal kgV gleich Produkt.

menu_book Ausführlicher Ratgeber: Primfaktorzerlegung erklärt

Ganze Zahlen bis 1.000.000.000.000 (eine Billion).

Primfaktorzerlegung von 120

2^3 · 3 · 5

= 2 · 2 · 2 · 3 · 5

Anzahl Teiler

16

Teilersumme

360

ggT

—

kgV

—

Alle Teiler von 120

12345681012152024304060120

Rechenweg

  1. Probedivision mit 2, 3 und dann allen Zahlen der Form 6k ± 1 bis √120 ≈ 10:
  2. 120 : 2 = 60
  3. 60 : 2 = 30
  4. 30 : 2 = 15
  5. 15 : 3 = 5
  6. 5 ist eine Primzahl, die Zerlegung endet.
  7. Primfaktorzerlegung: 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 2^3 · 3 · 5
  8. Teileranzahl: (3 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 16

Derzeit ohne Vermittlung oder Angebotsstrecke

Diese Seite dient aktuell nur der Orientierung. rechnerportal.net vermittelt derzeit keine Anbieter und gibt keine individuelle Empfehlung ab.

Mehr Infos bald
PRO
Diese Berechnung als PDF speichern — mit allen Eingaben und Quellen, für Ihre Unterlagen oder den Fachbetrieb.
Mehr über Pro arrow_forward

Die Primfaktorzerlegung schreibt jede Zahl als eindeutiges Produkt aus Primzahlen

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist: 2, 3, 5, 7, 11, 13 und so weiter. Alle anderen Zahlen ab 4 sind zusammengesetzt und lassen sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Diese Darstellung heißt Primfaktorzerlegung, und sie ist bis auf die Reihenfolge eindeutig. Aus ihr lesen Sie die Teiler einer Zahl ab, kürzen Brüche und bestimmen ggT und kgV, ohne lange zu probieren.

Primfaktorzerlegung von 120 Schritt für Schritt

Die Zahl 120 ist ein gutes Beispiel, weil sie drei verschiedene Primfaktoren enthält. Die Methode heißt Probedivision: Sie teilen so lange durch die kleinste passende Primzahl, bis nichts mehr übrig bleibt.

  1. 120 : 2 = 60
  2. 60 : 2 = 30
  3. 30 : 2 = 15
  4. 15 ist ungerade, also weiter mit 3: 15 : 3 = 5
  5. 5 ist eine Primzahl, die Zerlegung endet.

Ergebnis: 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 2³ · 3 · 5. Der Faktor 2 kommt dreimal vor, 3 und 5 je einmal. Probiert werden musste nur bis √120 ≈ 10, denn ein Rest, der durch keine Primzahl bis zu seiner Wurzel teilbar ist, ist selbst prim.

Primfaktoren von 12, 60, 120, 360, 1000 und 2026 im Überblick

Die folgende Tabelle zeigt häufig gesuchte Zahlen mit ihrer Zerlegung, der Teileranzahl und der Summe aller Teiler, jeweils vom Rechner ermittelt.

ZahlPrimfaktorenExponentschreibweiseAnzahl TeilerSumme der Teiler
122 · 2 · 32² · 3628
602 · 2 · 3 · 52² · 3 · 512168
1202 · 2 · 2 · 3 · 52³ · 3 · 516360
3602 · 2 · 2 · 3 · 3 · 52³ · 3² · 5241.170
10002 · 2 · 2 · 5 · 5 · 52³ · 5³162.340
20262 · 10132 · 101343.042

Auffällig ist 2026: Die Zahl hat nur vier Teiler (1, 2, 1013 und 2026), weil 1013 eine Primzahl ist. Die 60 dagegen hat bei viel kleinerem Wert zwölf Teiler. Genau deshalb teilen Babylonier und heutige Uhren die Stunde in 60 Minuten und den Kreis in 360 Grad: Beide Zahlen lassen sich auf besonders viele Arten gleichmäßig aufteilen.

Wie viele Teiler hat eine Zahl? Die Exponentenregel der Primfaktorzerlegung

Aus der Exponentschreibweise lässt sich die Teileranzahl ohne Aufzählen berechnen: Jeden Exponenten um 1 erhöhen und die Ergebnisse multiplizieren. Für 360 = 2³ · 3² · 5 heißt das (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) = 24. Der Grund: Jeder Teiler von 360 enthält die 2 null- bis dreimal, die 3 null- bis zweimal und die 5 null- oder einmal, und jede Kombination ergibt einen anderen Teiler.

Die vollständige Liste für 360 lautet 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360. Für 120 sind es 16 Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120. Der Rechner listet die Teiler bis zu einer Anzahl von 200 vollständig auf; bei noch teilerreicheren Zahlen nennt er nur Anzahl und Summe.

ggT und kgV über die Primfaktorzerlegung bestimmen

Wer zwei Zahlen zerlegt hat, bekommt den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache fast geschenkt. Für den ggT nehmen Sie jede Primzahl, die in beiden Zerlegungen vorkommt, mit dem kleineren Exponenten. Für das kgV nehmen Sie jede Primzahl, die überhaupt vorkommt, mit dem größeren Exponenten.

ZahlenpaarZerlegungenggTkgVKontrolle ggT · kgV
60 und 10002² · 3 · 5 und 2³ · 5³2² · 5 = 202³ · 3 · 5³ = 3.00060.000
48 und 1802⁴ · 3 und 2² · 3² · 52² · 3 = 122⁴ · 3² · 5 = 7208.640
120 und 3602³ · 3 · 5 und 2³ · 3² · 512036043.200
12 und 20262² · 3 und 2 · 1013212.15624.312

Die letzte Spalte ist die Probe: Das Produkt aus ggT und kgV ist immer gleich dem Produkt der beiden Zahlen, also 60 · 1000 = 60.000. Stimmt das nicht, steckt ein Fehler in einer der Zerlegungen. Das Paar 120 und 360 zeigt einen Sonderfall: Wenn eine Zahl die andere teilt, ist die kleinere der ggT und die größere das kgV.

Wozu man Primfaktoren im Alltag und in der Schule braucht

Der häufigste Einsatz ist das Kürzen von Brüchen. Der Bruch 60/1000 lässt sich durch den ggT 20 kürzen und wird zu 3/50. Mit dem Bruchrechner können Sie das Ergebnis direkt weiterverwenden. Beim Addieren von Brüchen ist das kgV der Nenner der kleinste gemeinsame Hauptnenner: 1/48 + 1/180 bringen Sie auf den Nenner 720.

Auch außerhalb der Schule tauchen Primfaktoren auf. Wer 360 Fliesen, Stühle oder Teilnehmer in gleich große Gruppen aufteilen will, findet in den 24 Teilern alle möglichen Gruppengrößen. Und die Verschlüsselung im Internet beruht darauf, dass sich das Produkt zweier sehr großer Primzahlen praktisch nicht mehr zerlegen lässt, während die Multiplikation in Sekundenbruchteilen gelingt.

Merkhilfe: Teilbarkeitsregeln als Plausibilitätsprüfung für Primfaktoren

Bevor Sie dividieren, sagen Ihnen einfache Regeln, welche Primzahl überhaupt passt:

  • Durch 2 teilbar ist jede Zahl mit gerader Endziffer.
  • Durch 3 teilbar ist eine Zahl, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Bei 360 ist die Quersumme 9, also passt die 3. Der Quersummenrechner hilft bei langen Zahlen.
  • Durch 5 teilbar ist jede Zahl mit Endziffer 0 oder 5.
  • Bei 2026 ist die Quersumme 10, also scheidet die 3 aus, und die Endziffer 6 schließt die 5 aus.

Zur Größenordnung: Das Produkt Ihrer Faktoren muss wieder genau die Ausgangszahl ergeben. Multiplizieren Sie zur Probe zurück, 2³ · 3 · 5 = 8 · 15 = 120. Und kein Primfaktor außer höchstens einem kann größer sein als die Wurzel der Zahl.

Typische Fehler bei der Primfaktorzerlegung

Der häufigste Fehler ist, bei einer zusammengesetzten Zahl stehen zu bleiben. Wer 360 = 4 · 9 · 10 schreibt, hat zwar ein korrektes Produkt, aber keine Primfaktorzerlegung, denn 4, 9 und 10 sind keine Primzahlen. Zweitens wird die 1 fälschlich als Faktor aufgeschrieben. Sie ist keine Primzahl und gehört nicht in die Zerlegung. Drittens wird ein mehrfacher Faktor nur einmal gezählt: 1000 enthält die 5 dreimal, nicht einmal.

Beim ggT verwechseln viele die Regeln und nehmen den größeren Exponenten. Das Ergebnis ist dann zu groß und teilt die Zahlen nicht mehr. Die Kontrolle ggT · kgV = a · b fängt diesen Fehler zuverlässig ab.

Große Zahlen und Primzahlen erkennen

Der Rechner zerlegt Zahlen bis 1.000.000.000.000. Er prüft dafür nur die 2, die 3 und danach Zahlen der Form 6k ± 1, also 5, 7, 11, 13, 17, 19 und so weiter, weil jede Primzahl ab 5 diese Form hat. Bleibt nach allen Divisionen ein Rest größer als 1 übrig, ist dieser Rest selbst prim. So erkennt der Rechner, dass 97, 1013 und 2027 Primzahlen sind, jeweils mit genau zwei Teilern. Die Zahl 91 sieht zwar prim aus, zerfällt aber in 7 · 13.

Wenn Sie zufällige Übungszahlen brauchen, erzeugt der Zufallszahlen-Generator beliebige ganze Zahlen in einem Bereich Ihrer Wahl, die Sie anschließend hier zerlegen. Für statistische Kennzahlen aus einer Zahlenreihe eignet sich dagegen der Median-Rechner.

Primfaktoren finden: drei Abkürzungen für den Rechenweg

  1. 01 Teilen Sie immer zuerst so oft wie möglich durch 2, dann durch 3, dann durch 5. Wer mit einer größeren Primzahl beginnt, übersieht leicht einen kleinen Faktor, der mehrfach vorkommt.
  2. 02 Sie können aufhören zu probieren, sobald die getestete Primzahl größer ist als die Wurzel des Rests. Bei 2026 bleibt nach der Division durch 2 der Rest 1013, und bis √1013 ≈ 31 teilt keine Primzahl, also ist 1013 selbst prim.
  3. 03 Für den ggT nehmen Sie die gemeinsamen Primfaktoren mit dem kleineren Exponenten, für das kgV alle Primfaktoren mit dem größeren. Die Probe ggT · kgV = a · b deckt Rechenfehler sofort auf.

Häufige Fragen zur Primfaktorzerlegung, zu Teilern, ggT und kgV

Wie lautet die Primfaktorzerlegung von 120? expand_more
120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5, in Exponentschreibweise 2³ · 3 · 5. Der Rechenweg lautet 120 : 2 = 60, 60 : 2 = 30, 30 : 2 = 15, 15 : 3 = 5, und 5 ist eine Primzahl. Aus den Exponenten ergibt sich die Teileranzahl (3 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 16.
Wie kann ich eine Primfaktorzerlegung online berechnen? expand_more
Geben Sie die Zahl in den Rechner ein. Er teilt sie per Probedivision durch 2, 3 und alle Zahlen der Form 6k ± 1 bis zur Wurzel der Zahl und zeigt jeden Schritt an. Das Ergebnis erscheint als Produkt und in Exponentschreibweise, dazu alle Teiler und auf Wunsch ggT und kgV mit einer zweiten Zahl.
Wie berechne ich die Anzahl der Teiler einer Zahl? expand_more
Schreiben Sie die Zahl in Exponentschreibweise, erhöhen Sie jeden Exponenten um 1 und multiplizieren Sie die Ergebnisse. Für 360 = 2³ · 3² · 5 ergibt das (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) = 24 Teiler. Die Zahl 1 und die Zahl selbst sind dabei mitgezählt.
Wie prüfe ich, ob eine Zahl eine Primzahl ist? expand_more
Eine Zahl ist prim, wenn ihre Zerlegung nur aus einem einzigen Faktor besteht, nämlich aus ihr selbst. Der Rechner meldet das direkt. Beispiele sind 97, 1013 und 2027, die jeweils genau zwei Teiler haben. Die Zahl 1 gilt dagegen weder als Primzahl noch als zusammengesetzte Zahl.
Wie berechne ich ggT und kgV mit Primfaktoren? expand_more
Zerlegen Sie beide Zahlen. Der ggT ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren mit dem jeweils kleineren Exponenten, das kgV das Produkt aller vorkommenden Primfaktoren mit dem größeren Exponenten. Für 60 und 1000 ergibt das ggT = 2² · 5 = 20 und kgV = 2³ · 3 · 5³ = 3000.
Ist die Primfaktorzerlegung eindeutig? expand_more
Ja. Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich bis auf die Reihenfolge der Faktoren auf genau eine Weise als Produkt von Primzahlen schreiben. Das ist der Fundamentalsatz der Arithmetik. Deshalb ist es egal, mit welchem Faktor Sie beginnen, am Ende steht immer dieselbe Zerlegung.
Rechner auf Ihrer Website einbinden

Sie können diesen Rechner kostenlos und ohne Anmeldung auf Ihrer eigenen Website zeigen. Kopieren Sie dazu den Code und fügen Sie ihn in Ihre Seite ein. Die Höhe passt sich automatisch an, die Quelle bleibt verlinkt. Mehr zur Einbindung

Verwandte Rechner

Passende nächste Schritte zu dieser Berechnung.

Derzeit ohne Vermittlung oder Angebotsstrecke

Dieser Abschnitt dient aktuell nur der zusätzlichen Einordnung. rechnerportal.net vermittelt derzeit keine Anbieter und spricht keine individuelle Empfehlung aus.

Mehr Infos bald