Wozu braucht man die Primfaktorzerlegung beim Bruchrechnen?

Stand: September 2026Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik

Beim Bruchrechnen zeigt die Primfaktorzerlegung auf einen Blick, welche Faktoren Zähler und Nenner gemeinsam haben. Streichen Sie diese, ist der Bruch vollständig gekürzt. Für den Hauptnenner nehmen Sie jeden Primfaktor mit der höchsten vorkommenden Potenz. So vermeiden Sie unnötig große Nenner und mehrfaches Nachkürzen.

Zahl

Zweite Zahl für ggT und kgV (optional)

Ganze Zahlen bis 1.000.000.000.000 (eine Billion).

Primfaktorzerlegung von 120

2^3 · 3 · 5

= 2 · 2 · 2 · 3 · 5

Anzahl Teiler

Teilersumme

360

ggT

—

kgV

—

Alle Teiler von 120

12345681012152024304060120

Rechenweg

Probedivision mit 2, 3 und dann allen Zahlen der Form 6k ± 1 bis √120 ≈ 10:
120 : 2 = 60
60 : 2 = 30
30 : 2 = 15
15 : 3 = 5
5 ist eine Primzahl, die Zerlegung endet.
Primfaktorzerlegung: 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 2^3 · 3 · 5
Teileranzahl: (3 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 16

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Formel

Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlpotenzen schreiben. Die Anzahl ihrer Teiler ist das Produkt aus allen Exponenten, jeweils um eins erhöht.

n = p1^e1 · p2^e2 · …; Teileranzahl = (e1 + 1) · (e2 + 1) · …

p1, p2, …: verschiedene Primfaktoren der Zahl
e1, e2, …: Exponenten, wie oft der jeweilige Primfaktor vorkommt

Rechenbeispiel: 120 in Primfaktoren zerlegen

1

Ausgangszahl festlegen

= 120
2

Wiederholt durch die kleinste passende Primzahl teilen: 120 : 2 = 60, 60 : 2 = 30, 30 : 2 = 15, 15 : 3 = 5, und 5 ist selbst eine Primzahl
3

Faktoren zusammenfassen: 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 2^3 · 3 · 5
4

Teileranzahl aus den Exponenten: (3 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1)

= 16 Teiler
5

Alle Teiler von 1 bis 120 addieren

= Teilersumme 360

120 besteht aus den Primfaktoren 2, 2, 2, 3 und 5. Daraus ergeben sich 16 Teiler mit der Summe 360. Weil die 120 so viele kleine Primfaktoren enthält, lässt sie sich mit sehr vielen Nennern kürzen.

Typische Fehler

errorBrüche schrittweise gekürzt und dabei einen gemeinsamen Faktor übersehen

Wer 84/120 nur durch 2 kürzt, erhält 42/60 und muss weiter kürzen. Mit den Zerlegungen 84 = 2 · 2 · 3 · 7 und 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 sehen Sie sofort den gemeinsamen Anteil 2 · 2 · 3 = 12 und kommen direkt auf 7/10.

errorAls Hauptnenner einfach das Produkt der Nenner genommen

Das Produkt der Nenner funktioniert zwar, ist aber oft unnötig groß. Bei den Nennern 12 und 18 ergibt es 216, der kleinste gemeinsame Nenner ist dagegen 36. Die Primfaktoren zeigen ihn direkt: 2 · 2 aus der 12 und 3 · 3 aus der 18.

Brüche kürzen und Hauptnenner finden mit Primfaktoren

Beim Bruchrechnen kommen zwei Aufgaben immer wieder vor: einen Bruch so weit wie möglich kürzen und für die Addition zweier Brüche einen gemeinsamen Nenner finden. Beide lassen sich durch Probieren lösen, doch mit der Primfaktorzerlegung wird daraus ein sicheres Verfahren. Sie zerlegen Zähler und Nenner in ihre Bausteine und sehen sofort, welche Bausteine doppelt vorkommen.

Für das Kürzen streichen Sie alle gemeinsamen Primfaktoren. Beim Bruch 84/120 sind das zwei Zweien und eine Drei, der Bruch wird zu 7/10. Für den Hauptnenner gehen Sie umgekehrt vor: Jeder Primfaktor, der in irgendeinem Nenner auftaucht, kommt einmal mit seiner höchsten Potenz in den gemeinsamen Nenner. Für 5/12 plus 7/18 ergibt das 2 · 2 · 3 · 3 = 36, und die Rechnung lautet 15/36 plus 14/36 gleich 29/36. Weil 29 eine Primzahl ist und nicht in 36 steckt, ist das Ergebnis bereits vollständig gekürzt.

Warum Primzahlen die Bausteine aller Zahlen sind

Primzahlen sind Zahlen größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Jede andere natürliche Zahl lässt sich als Produkt aus ihnen zusammensetzen, und zwar auf genau eine Weise, wenn man die Reihenfolge außer Acht lässt. Diese Eindeutigkeit ist der Grund, warum die Zerlegung so verlässlich funktioniert: Zwei Zahlen haben genau dann einen gemeinsamen Teiler, wenn sie einen gemeinsamen Primfaktor haben.

Auch außerhalb der Schule spielt das eine Rolle. Die Verschlüsselung beim Onlinebanking beruht darauf, dass sich das Produkt zweier sehr großer Primzahlen leicht berechnen, aber praktisch nicht mehr zurück zerlegen lässt. Bei kleinen Zahlen wie 120 genügt dagegen die Probedivision bis zur Wurzel der Zahl. Findet sich bis dorthin kein Teiler, ist die Zahl selbst eine Primzahl. Bei 120 liegt die Wurzel knapp unter 11, es reicht also, die Primzahlen 2, 3, 5 und 7 zu testen.

Passende Rechner

Häufige Fragen: Primfaktorzerlegung

Wie kürze ich einen Bruch mit großen Zahlen am schnellsten? expand_more

Zerlegen Sie Zähler und Nenner in Primfaktoren und streichen Sie alle Faktoren, die in beiden vorkommen. Was übrig bleibt, ist der vollständig gekürzte Bruch. Das spart das wiederholte Probieren mit kleinen Teilern und garantiert, dass kein gemeinsamer Faktor übrig bleibt.

Woran erkenne ich, ob ein Bruch als endliche Dezimalzahl darstellbar ist? expand_more

Kürzen Sie den Bruch vollständig und zerlegen Sie den Nenner. Enthält er nur die Primfaktoren 2 und 5, ist die Dezimalzahl endlich, wie bei 7/40. Kommt ein anderer Primfaktor vor, etwa 3 bei 1/3, entsteht eine periodische Dezimalzahl.

Warum werden Uhrzeiten und Winkel mit 60 und 360 gezählt? expand_more

Die Zahlen 60 und 360 haben besonders viele Teiler, weil sie aus den kleinen Primfaktoren 2, 3 und 5 bestehen. Eine Stunde oder ein Vollkreis lassen sich deshalb ohne Rest in Hälften, Drittel, Viertel, Fünftel und Sechstel teilen.