Pyramide berechnen: Volumen, Oberflächeninhalt, Mantelfläche und Höhe
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Eine Pyramide berechnen Sie über Grundfläche und Höhe: Das Volumen ist V = 1/3 · a · b · h, eine quadratische Pyramide mit 6 cm Grundkante und 4 cm Höhe hat also 48 cm³ Volumen, 60 cm² Mantelfläche und 96 cm² Oberfläche. Der Pyramiden-Rechner arbeitet mit quadratischer und rechteckiger Grundfläche und liefert zusätzlich Seitenhöhen, Seitenkante und Füllmenge in Litern. Umgekehrt ermittelt er die Höhe aus dem Volumen oder aus der Seitenhöhe.
Volumen
48 cm³
0,048 Liter
Mantelfläche
60 cm²
Oberfläche
96 cm²
Höhe
4 cm
Grundfläche
36 cm²
Seitenkante
5,831 cm
Seitenhöhe über a
5 cm
Formeln: V = 1/3 · G · h mit G = a · b, Seitenhöhe h_a = √(h² + (b/2)²), M = a · h_a + b · h_b, O = G + M. Für eine oben abgeschnittene Pyramide nutzen Sie den Pyramidenstumpfrechner.
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Mehr Infos baldPyramide berechnen: ein Drittel des Quaders mit gleicher Grundfläche und Höhe
Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige oder quadratische Grundfläche und eine Spitze genau über deren Mittelpunkt. Drei Maße legen sie fest: die Grundkanten a und b und die Höhe h. Bei der quadratischen Pyramide ist b = a, dann genügen zwei Maße. Dieser Rechner behandelt die volle Pyramide mit Spitze, nicht den abgeschnittenen Pyramidenstumpf.
Formeln der Pyramide für Volumen, Mantel und Oberfläche
| Größe | Formel | Hinweis |
|---|---|---|
| Grundfläche | G = a · b | bei Quadrat a² |
| Volumen | V = 1/3 · a · b · h | ein Drittel des Quaders |
| Seitenhöhe über a | h_a = Wurzel aus (h² + (b/2)²) | Höhe des Dreiecks über Kante a |
| Seitenhöhe über b | h_b = Wurzel aus (h² + (a/2)²) | Höhe des Dreiecks über Kante b |
| Mantelfläche | M = a · h_a + b · h_b | vier Seitendreiecke |
| Oberfläche | O = a · b + M | Grundfläche plus Mantel |
| Seitenkante | s = Wurzel aus (h² + (a/2)² + (b/2)²) | Ecke bis Spitze |
| Höhe aus Volumen | h = 3 · V / (a · b) | Umkehrung |
| Höhe aus Seitenhöhe | h = Wurzel aus (h_a² − (b/2)²) | Umkehrung |
Jedes Seitendreieck hat die Fläche Grundseite mal Seitenhöhe durch zwei. Weil sich je zwei gegenüberliegende Dreiecke gleichen, fällt die Hälfte weg, und es bleibt a · h_a + b · h_b.
Pyramide berechnen Schritt für Schritt: 6 cm Kante und 4 cm Höhe
Eine quadratische Pyramide mit 6 cm Grundkante und 4 cm Höhe:
- Grundfläche: 6 · 6 = 36 cm².
- Volumen: 36 cm² · 4 cm / 3 = 48 cm³, also 0,048 Liter.
- Seitenhöhe: Wurzel aus (4² + 3²) = Wurzel aus 25 = 5 cm.
- Mantelfläche: 6 · 5 + 6 · 5 = 60 cm².
- Oberfläche: 36 + 60 = 96 cm².
- Seitenkante: Wurzel aus (16 + 9 + 9) = 5,83 cm.
Wer in der Schule nach dem Flächeninhalt oder Oberflächeninhalt der Pyramide gefragt wird, meint diese 96 cm², also alle fünf Flächen zusammen. Die Mantelfläche von 60 cm² umfasst nur die vier Dreiecke ohne Boden.
Die halbe Kante von 3 cm, die Höhe von 4 cm und die Seitenhöhe von 5 cm bilden ein rechtwinkliges Dreieck im Inneren der Pyramide. Den gleichen Zusammenhang rechnet der Pythagoras-Rechner allgemein.
Pyramide mit rechteckiger Grundfläche: zwei verschiedene Seitenhöhen
Bei einer Grundfläche von 8 cm mal 6 cm und 4 cm Höhe sind die Seitendreiecke nicht mehr gleich. Das Dreieck über der langen Kante a = 8 cm hat die Seitenhöhe h_a = 5 cm, das über der kurzen Kante b = 6 cm die Seitenhöhe h_b = 5,66 cm. Daraus ergeben sich:
- Volumen: 64 cm³
- Mantelfläche: 73,94 cm²
- Oberfläche: 121,94 cm²
- Seitenkante: 6,40 cm
Dieser Fall entspricht einem Walmdach über einem rechteckigen Grundriss. Für ein Dach mit 10 m mal 8 m Grundriss und 3 m Firsthöhe über der Traufe liefert der Rechner 96,65 m² Dachfläche, also die Mantelfläche, und Seitenhöhen von 5 m und 5,83 m. Ein echtes Walmdach hat meist einen First statt einer Spitze, dann ist der Wert eine Näherung.
Pyramide Höhe berechnen aus Volumen oder Seitenhöhe
- Aus Volumen und Kante: Eine quadratische Pyramide mit 5 cm Kante soll 100 cm³ fassen. Die Höhe beträgt 3 · 100 / 25 = 12 cm. Die Seitenhöhe liegt dann bei 12,26 cm, die Oberfläche bei 147,58 cm².
- Aus Seitenhöhe und Kante: Eine Pyramide hat 10 cm Grundkante und 13 cm Seitenhöhe. Die Höhe ist Wurzel aus (169 − 25) = 12 cm. Volumen 400 cm³, Mantelfläche 260 cm², Oberfläche 360 cm².
Ist die Seitenhöhe kleiner als die halbe Kante, kann keine Pyramide entstehen, und der Rechner meldet einen ungültigen Wert.
Pyramide Oberfläche und Volumen bei wachsender Höhe
Bei gleicher Grundkante von 10 cm wächst das Volumen linear mit der Höhe, die Mantelfläche dagegen langsamer, weil die Seitenhöhe nie kleiner als die halbe Kante wird.
| Höhe (Kante 10 cm) | Volumen | Liter | Seitenhöhe | Mantelfläche | Oberfläche |
|---|---|---|---|---|---|
| 3 cm | 100 cm³ | 0,10 l | 5,83 cm | 116,62 cm² | 216,62 cm² |
| 5 cm | 166,67 cm³ | 0,17 l | 7,07 cm | 141,42 cm² | 241,42 cm² |
| 10 cm | 333,33 cm³ | 0,33 l | 11,18 cm | 223,61 cm² | 323,61 cm² |
| 12 cm | 400 cm³ | 0,40 l | 13 cm | 260 cm² | 360 cm² |
Pyramiden aus dem Alltag: Zelt, Dach und Cheops-Pyramide
| Beispiel | Grundfläche | Höhe | Volumen | Mantelfläche | Oberfläche |
|---|---|---|---|---|---|
| Kleine Pyramide | 6 cm × 6 cm | 4 cm | 48 cm³ | 60 cm² | 96 cm² |
| Pyramidenzelt | 3 m × 3 m | 2 m | 6 m³ (6.000 l) | 15 m² | 24 m² |
| Walmdach-Näherung | 10 m × 8 m | 3 m | 80 m³ | 96,65 m² | 176,65 m² |
| Cheops-Pyramide, gerundet | 230 m × 230 m | 146 m | 2.574.466,67 m³ | 85.491,96 m² | 138.391,96 m² |
Beim Zelt brauchen Sie für die Plane die 15 m² Mantelfläche, der Boden kommt mit 9 m² nur hinzu, wenn er fest eingenäht ist. Die Maße der Cheops-Pyramide sind gerundete Näherungen ihres ursprünglichen Zustands.
Pyramide im Kopf überschlagen und typische Fehler
Als Plausibilitätsprüfung nehmen Sie den Quader aus Grundfläche mal Höhe und teilen durch drei. Bei 6 cm Kante und 4 cm Höhe ist der Quader 144 cm³ groß, ein Drittel davon sind 48 cm³. Die Seitenhöhe muss immer größer sein als die Höhe und größer als die halbe Kante.
- Höhe und Seitenhöhe verwechselt: Die Volumenformel braucht die senkrechte Höhe, die Mantelfläche die Seitenhöhe. Wer die Seitenhöhe ins Volumen einsetzt, erhält zu viel.
- Drittel vergessen: Ohne 1/3 erhalten Sie das Volumen des Quaders.
- Seitenkante statt Seitenhöhe: Die Kante an der Ecke ist länger als die Seitenhöhe. Mit ihr wird die Mantelfläche zu groß.
- Einheiten gemischt: Kante in m und Höhe in cm ergibt Unsinn. Beim Umrechnen hilft der Volumen-Umrechner.
Pyramiden-Rechner und Pyramidenstumpfrechner abgrenzen
Diese Seite rechnet die volle gerade Pyramide mit quadratischer oder rechteckiger Grundfläche. Ist die Spitze abgeschnitten, wie bei einem Punktfundament, einer Baugrube mit Böschung oder einem Silotrichter, verwenden Sie den Pyramidenstumpfrechner. Läuft die Spitze über einer runden Grundfläche zusammen, ist der Kegel-Rechner zuständig.
Pyramide ausmessen: drei Höhen, die oft verwechselt werden
- 01 Unterscheiden Sie Höhe, Seitenhöhe und Seitenkante. Die Höhe steht senkrecht in der Mitte, die Seitenhöhe läuft mittig über eine Dreiecksfläche, die Seitenkante an der Ecke. Bei 6 cm Kante und 4 cm Höhe messen sie 4, 5 und 5,83 cm.
- 02 Bei rechteckiger Grundfläche haben die Seitendreiecke zwei verschiedene Höhen. Rechnen Sie den Mantel deshalb nie mit einer einzigen Seitenhöhe mal vier, sonst stimmt das Ergebnis nicht.
- 03 Für ein Walmdach oder eine Zeltplane zählt die Mantelfläche, nicht die Oberfläche. Die Grundfläche liegt auf dem Gebäude oder dem Boden und braucht kein Material.
Häufige Fragen zum Pyramide berechnen
Wie berechnet man das Volumen einer Pyramide? expand_more
Wie berechnet man den Oberflächeninhalt einer Pyramide? expand_more
Wie berechnet man die Mantelfläche einer Pyramide? expand_more
Wie berechne ich die Höhe einer Pyramide? expand_more
Was ist die Grundfläche einer Pyramide? expand_more
Was ist der Unterschied zwischen Pyramide und Pyramidenstumpf? expand_more
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