Pyramide: Höhe, Seitenhöhe und Seitenkante richtig unterscheiden
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Eine Pyramide hat drei verschiedene Längen, die oft verwechselt werden. Die Höhe steht senkrecht in der Mitte, die Seitenhöhe läuft auf einer Seitenfläche von der Kantenmitte zur Spitze, die Seitenkante von einer Ecke zur Spitze. Bei 6 cm Grundkante und 4 cm Höhe sind das 4 cm, 5 cm und 5,83 cm.
Volumen
48 cm³
0,048 Liter
Mantelfläche
60 cm²
Oberfläche
96 cm²
Höhe
4 cm
Grundfläche
36 cm²
Seitenkante
5,831 cm
Seitenhöhe über a
5 cm
Formeln: V = 1/3 · G · h mit G = a · b, Seitenhöhe h_a = √(h² + (b/2)²), M = a · h_a + b · h_b, O = G + M. Für eine oben abgeschnittene Pyramide nutzen Sie den Pyramidenstumpfrechner.
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Formel
Die Seitenhöhe ist die Wurzel aus Höhe zum Quadrat plus halber Grundkante zum Quadrat. Die Seitenkante ist bei quadratischer Grundfläche die Wurzel aus Höhe zum Quadrat plus halber Diagonale der Grundfläche zum Quadrat. Für die Mantelfläche brauchen Sie die Seitenhöhe, für das Volumen nur die senkrechte Höhe.
hₐ = √(h² + (a/2)²), s = √(h² + a²/2), M = 2 · a · hₐ, V = 1/3 · a² · h
- a
- Kantenlänge der quadratischen Grundfläche
- h
- senkrechte Höhe von der Grundfläche zur Spitze
- hₐ
- Seitenhöhe, Höhe eines Seitendreiecks
- s
- Seitenkante von einer Ecke der Grundfläche zur Spitze
Rechenbeispiel: quadratische Pyramide mit 6 cm Kante und 4 cm Höhe
- 1
Maße festlegen: Grundkante und senkrechte Höhe
= a = 6 cm, h = 4 cm
- 2
Seitenhöhe: √(4² + 3²) = √25
= 5 cm
- 3
Seitenkante: √(4² + 6²/2) = √34
= 5,83 cm
- 4
Grundfläche: 6 cm mal 6 cm
= 36 cm²
- 5
Mantelfläche: vier Dreiecke mit je 6 cm Grundseite und 5 cm Seitenhöhe
= 60 cm²
- 6
Oberfläche: Mantel plus Grundfläche
= 96 cm²
- 7
Volumen: ein Drittel von 36 cm² mal 4 cm
= 48 cm³ (0,048 Liter)
Bei 6 cm Grundkante und 4 cm Höhe ist die Seitenhöhe 5 cm und die Seitenkante 5,83 cm lang. Die Pyramide hat 96 cm² Oberfläche und fasst 48 cm³.
Typische Fehler
errorDie senkrechte Höhe in die Mantelformel eingesetzt
Die Seitendreiecke sind geneigt, ihre Höhe ist die Seitenhöhe und nicht die Körperhöhe. Mit 4 cm statt 5 cm ergäbe sich im Beispiel eine Mantelfläche von 48 statt 60 cm². Die Fläche fällt damit um ein Fünftel zu klein aus.
errorDie Seitenkante als Seitenhöhe gemessen
Wer an einem Modell oder Dach entlang der Ecke misst, erhält die Seitenkante. Sie ist immer länger als die Seitenhöhe, im Beispiel 5,83 statt 5 cm. Messen Sie die Seitenhöhe in der Mitte einer Seitenfläche, senkrecht zur Grundkante.
Drei Längen, drei Dreiecke: wie die Maße einer Pyramide zusammenhängen
Die meisten Fehler bei Pyramidenaufgaben entstehen, weil drei verschiedene Längen im Spiel sind, die alle nach Höhe klingen. Jede von ihnen gehört zu einem eigenen rechtwinkligen Dreieck im Inneren der Pyramide. Die Körperhöhe h steht senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche. Zusammen mit der halben Grundkante bildet sie ein Dreieck, dessen Hypotenuse die Seitenhöhe ist. Zusammen mit der halben Diagonale der Grundfläche bildet sie ein zweites Dreieck, dessen Hypotenuse die Seitenkante ist. Ein drittes Dreieck liegt auf der Seitenfläche selbst: Seitenhöhe, halbe Grundkante und Seitenkante.
Welche Länge Sie brauchen, hängt von der Frage ab. Für das Volumen zählt nur die senkrechte Höhe, egal wie steil die Seiten sind. Für Flächen, also Mantel und Oberfläche, brauchen Sie die Seitenhöhe. Für Kanten, Sparren oder Stäbe, etwa beim Bau eines Pyramidenzelts oder eines Gewächshauses, ist die Seitenkante entscheidend. Ist nur eine dieser Größen bekannt, lassen sich die anderen über den Satz des Pythagoras bestimmen.
Pyramiden am Bau: Zeltdach, Turmhelm und Gartenobelisk
Im Alltag begegnen Pyramiden vor allem als Dachform. Ein Zeltdach auf quadratischem Grundriss ist eine flache Pyramide, ein spitzer Turmhelm eine schlanke. Für die Dachfläche und damit den Bedarf an Ziegeln, Schiefer oder Blech rechnen Sie mit der Mantelfläche. Die Länge der Gratsparren entspricht der Seitenkante, die der Mittelsparren auf jeder Dachfläche der Seitenhöhe. Hinzu kommen Dachüberstand und Verschnitt.
Bei rechteckigem Grundriss unterscheiden sich die beiden Seitenhöhen, weil die Dachflächen verschieden steil sind. Der Rechner berechnet dann beide Werte getrennt. Auch ein Rankobelisk für den Garten ist meist eine schlanke Pyramide. Hier interessiert vor allem die Seitenkante, denn sie bestimmt die Länge der vier Eckstäbe. Bei 50 cm Grundkante und 180 cm Höhe sind das rund 183 cm pro Stab. Ist die Spitze abgeschnitten, etwa bei einem Pflanzkübel oder einem Sockel, hilft der Pyramidenstumpf-Rechner weiter.