Pyramidenstumpfrechner — Volumen, Mantel- und Oberfläche berechnen

So nutzen Sie den Pyramidenstumpfrechner

Geben Sie die Grundkante a, die Deckkante b und die Höhe h ein. Der Rechner geht von quadratischer Grund- und Deckfläche aus und bestimmt daraus Volumen, Seitenhöhe, Mantelfläche und die gesamte Oberfläche. Ein Pyramidenstumpf entsteht, wenn man von einer Pyramide die Spitze parallel zur Grundfläche abschneidet — typische Beispiele sind Blumenkübel, Schirmständer, Lampenfüße oder Baugruben mit Böschung (als umgedrehter Stumpf).

Die verwendeten Formeln

• Volumen: V = (h / 3) · (a² + b² + a · b). Bei a = 6 m, b = 4 m, h = 9 m: 3 · (36 + 16 + 24) = 228 m³.
• Seitenhöhe: h_s = √(h² + ((a − b) / 2)²) — Pythagoras aus Höhe und halber Kantendifferenz. Im Beispiel ≈ 9,06 m.
• Mantelfläche: M = 2 · (a + b) · h_s — vier Trapeze mit den Parallelseiten a und b. Im Beispiel ≈ 181,11 m².
• Oberfläche: O = a² + b² + M ≈ 233,11 m² im Beispiel.

Auch hier lohnt der Blick auf die Grenzfälle: Für b = 0 bleibt die vollständige Pyramide (V = a² · h / 3), für b = a der Quader (V = a² · h). Der gemischte Term a · b verbindet beide — und genau er fehlt den üblichen Schätzformeln.

Typische Anwendungsfälle

Der häufigste Praxisfall ist der Erdbau: Baugruben und Gräben mit geböschten Wänden sind Pyramidenstümpfe — das Volumen bestimmt Aushubmenge, Containerbedarf und Entsorgungskosten. Dazu kommen Fundamente mit angeschrägten Flanken, Pflanzkübel und Tröge (Füllvolumen in Litern: m³ mal 1.000), Sockel, Podeste und Lampenfüße (Mantelfläche als Verkleidungs- oder Lackierfläche) sowie klassische Aufgaben aus Schule und Studium.

Wichtig bei rechteckigen statt quadratischen Querschnitten: Dann gilt die allgemeinere Stumpfformel V = (h / 3) · (A₁ + A₂ + √(A₁ · A₂)) mit den beiden Flächeninhalten — der Rechner hier ist auf den quadratischen Standardfall ausgelegt.

Eine ausführliche Herleitung mit Rechenbeispiel und typischen Fehlern finden Sie im Ratgeber zum Pyramidenstumpfrechner.

Passende Rechner

• Volumenrechner
• Kegelstumpfrechner
• Kubikmeter-Rechner

Erdaushub und Böschung

Eine Baugrube mit geböschten Wänden ist geometrisch ein umgekehrter Pyramidenstumpf: unten die Sohlfläche, oben die größere Geländeöffnung.

Wer mit Sohlfläche mal Tiefe rechnet, unterschätzt das Volumen erheblich. Bei einer Böschung von 45 Grad und zwei Metern Tiefe ist die obere Fläche auf jeder Seite vier Meter breiter — das Volumen liegt deutlich über der einfachen Rechnung.

Auflockerung nicht vergessen

Ausgehobener Boden nimmt 20 bis 30 Prozent mehr Raum ein als im gewachsenen Zustand. Container werden nach dem gelockerten Volumen bestellt.

Beim Verfüllen gilt es umgekehrt: Verdichtetes Material braucht mehr Ausgangsvolumen. Beide Zuschläge fehlen in den meisten Überschlagsrechnungen.

Punktfundamente und Beton

Ein trichterförmiges Fundament ist ein Pyramiden- oder Kegelstumpf. Für die Betonbestellung zählt das exakte Volumen — Beton wird in Kubikmetern geliefert und nicht zurückgenommen.

Rechnen Sie fünf Prozent Zuschlag ein für Verluste beim Einbringen und Unebenheiten der Grube.

Silotrichter und Behälter

Bei Trichtern interessiert oft nicht das Gesamtvolumen, sondern das Volumen bis zu einer bestimmten Füllhöhe.

Dafür gilt dieselbe Formel mit den Maßen auf dieser Höhe — die Kantenlänge interpoliert linear zwischen unten und oben. Der Füllstand ist also nicht proportional zum Volumen.

Blechabwicklung für den Mantel

Wer einen Stumpf aus Blech fertigt, braucht die Abwicklung des Mantels, nicht die Mantelfläche als Zahl. Beim quadratischen Stumpf sind es vier Trapeze mit der Schräghöhe als Höhe.

Die Schräghöhe ergibt sich über den Satz des Pythagoras aus der senkrechten Höhe und der halben Differenz der Kantenlängen. Wer stattdessen die Höhe verwendet, schneidet zu klein.

Am Werkstück wird die Schräge gemessen

Die senkrechte Höhe ist im fertigen Bauteil meist nicht zugänglich, die Schrägkante schon. Messen Sie die Schräge und rechnen Sie zurück.

Für das Volumen brauchen Sie zwingend die senkrechte Höhe — die Schräghöhe einzusetzen ergibt ein zu großes Ergebnis.