Satz des Pythagoras — Hypotenuse und Kathete berechnen
Der Satz des Pythagoras gilt in jedem rechtwinkligen Dreieck. Die Summe der Quadrate über den beiden Katheten ist genauso groß wie das Quadrat über der Hypotenuse. Aus zwei bekannten Seiten lässt sich damit immer die dritte bestimmen, sofern der rechte Winkel gesichert ist.
Gesuchte Seite (c)
5
Fläche
6 FE²
Umfang
12 FE
Höhe auf c
2,4 FE
c² = a² + b²
c² = 3² + 4²
c² = 9 + 16
c² = 25
c = √25 = 5
Satz des Pythagoras
a² + b² = c²
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.
FE = Flächeneinheiten bzw. Längeneinheiten. Der Satz des Pythagoras gilt nur für rechtwinklige Dreiecke.
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Formel
Das Quadrat der ersten Kathete plus das Quadrat der zweiten Kathete ergibt das Quadrat der Hypotenuse. Für eine gesuchte Kathete ziehen Sie das Quadrat der bekannten Kathete vom Quadrat der Hypotenuse ab und wurzeln das Ergebnis.
a² + b² = c²
- a
- erste Kathete, liegt am rechten Winkel an
- b
- zweite Kathete, liegt am rechten Winkel an
- c
- Hypotenuse, liegt dem rechten Winkel gegenüber
Rechenbeispiel: Dreieck mit den Katheten 3 und 4
- 1
Katheten quadrieren: 3 zum Quadrat ergibt 9, 4 zum Quadrat ergibt 16
- 2
Quadrate addieren: 9 plus 16
= 25
- 3
Wurzel ziehen, um die Hypotenuse zu erhalten
= 5
Das Dreieck mit den Katheten 3 und 4 hat die Hypotenuse 5. Diese Zahlenkombination ist das bekannteste pythagoreische Tripel und eignet sich gut zur Kontrolle eigener Rechnungen.
Typische Fehler
errorHypotenuse mit einer Kathete verwechselt
Die Hypotenuse ist immer die längste Seite und liegt dem rechten Winkel gegenüber. Wer sie versehentlich als Kathete einsetzt, addiert statt zu subtrahieren und erhält ein zu großes Ergebnis. Prüfen Sie deshalb zuerst, wo der rechte Winkel liegt.
errorSatz auf ein nicht rechtwinkliges Dreieck angewendet
Der Satz des Pythagoras gilt ausschließlich bei einem Winkel von genau neunzig Grad. In allgemeinen Dreiecken brauchen Sie stattdessen den Kosinussatz. Bei gemessenen Objekten lohnt es sich, den rechten Winkel vorher zu prüfen statt ihn anzunehmen.
errorWurzel am Ende vergessen
Die Formel liefert zunächst das Quadrat der gesuchten Seite, nicht die Seite selbst. Wer bei 25 stehen bleibt, notiert eine Länge, die fünfmal zu groß ist. Der letzte Schritt ist immer das Ziehen der Quadratwurzel aus dem Zwischenergebnis.
Der meistgenutzte Satz der Geometrie
Kaum eine mathematische Aussage begegnet Ihnen im Alltag so oft wie der Satz des Pythagoras — meist ohne dass er beim Namen genannt wird. Immer wenn eine Diagonale, eine Schräge oder ein Abstand gesucht ist und zwei senkrecht zueinander stehende Strecken bekannt sind, steckt er dahinter. Der Rechner nimmt Ihnen dabei das Quadrieren und Wurzelziehen ab.
Die Bedingung ist streng, aber einfach zu prüfen: Das Dreieck muss einen rechten Winkel haben. Die beiden Seiten, die diesen Winkel einschließen, heißen Katheten. Die dritte Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber, heißt Hypotenuse und ist immer die längste. Aus zwei dieser drei Längen folgt die dritte eindeutig.
Vom Schulbuch auf die Baustelle
Besonders praktisch ist die Umkehrung des Satzes. Sie erlaubt, einen rechten Winkel allein durch Messen herzustellen, ohne Winkelmesser oder Anschlagwinkel. Die Kombination drei, vier, fünf ist dafür seit Jahrtausenden im Gebrauch: Wer diese drei Längen als Dreieck absteckt, hat garantiert einen rechten Winkel. Beim Anlegen von Fundamenten, Terrassen oder Beeten ist das die verlässlichste Methode.
Ebenso häufig gebraucht wird die Diagonale. Ob ein Sofa durch einen Türrahmen passt, wie lang ein Kabel für die diagonale Verlegung sein muss oder welche Bildschirmgröße hinter einer Zollangabe steckt — all das sind Anwendungen desselben Prinzips. Bei der Bildschirmdiagonale rechnet man üblicherweise rückwärts: Aus Diagonale und Seitenverhältnis ergeben sich Breite und Höhe.
Wichtig bleibt in allen Fällen die Vorprüfung. Der Satz liefert immer ein Ergebnis, auch wenn gar kein rechter Winkel vorliegt — es ist dann nur falsch. Bei realen Objekten mit gemessenen Werten lohnt sich deshalb der zusätzliche Blick, ob die Voraussetzung tatsächlich erfüllt ist.