Diskriminante Formel: quadratische Gleichung mit abc- und pq-Formel lösen

Die Diskriminante D = b² − 4ac entscheidet über die Zahl der Lösungen

Jede quadratische Gleichung lässt sich auf die Form ax² + bx + c = 0 bringen. Bevor Sie eine Wurzel ziehen, lohnt der Blick auf die Diskriminante. Sie ist genau der Ausdruck, der in der Lösungsformel unter der Wurzel steht, und verrät schon vor dem eigentlichen Rechnen, wie viele reelle Lösungen es gibt. Grafisch entspricht das der Frage, wie oft die Parabel y = ax² + bx + c die x-Achse schneidet.

Diskriminante berechnen: die drei Fälle im Vergleich

Die folgenden drei Gleichungen hat der Rechner gelöst. Sie zeigen jeweils einen der drei möglichen Fälle.

Bei D > 0 schneidet die Parabel die x-Achse zweimal. Bei D = 0 berührt sie die Achse genau im Scheitelpunkt, deshalb ist dessen y-Wert 0. Bei D < 0 liegt der Scheitel einer nach oben geöffneten Parabel oberhalb der Achse, es gibt keinen Schnittpunkt.

Aus den Lösungen ergibt sich außerdem die faktorisierte Form. Für x² − 5x + 6 zeigt der Rechner die Linearfaktoren (x − 3) · (x − 2), für 2x² − 4x + 2 die Form 2 · (x − 1)². Das Quadrat in der zweiten Zeile ist das Kennzeichen der doppelten Lösung. Bei negativer Diskriminante gibt es keine reellen Linearfaktoren, der Rechner lässt dieses Feld dann leer.

Die abc-Formel, auch Mitternachtsformel genannt

Die abc-Formel lautet x₁,₂ = (−b ± √D) / 2a mit D = b² − 4ac. Sie gilt für jedes a ungleich null. Für x² − 5x + 6 = 0 rechnet der Rechner: D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Dann x₁,₂ = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2, also x₁ = 3 und x₂ = 2.

Der Name Mitternachtsformel spielt darauf an, dass man sie auch nachts im Halbschlaf aufsagen können soll. In manchen Bundesländern ist dagegen die pq-Formel die Standardmethode im Unterricht.

pq-Formel: Normalform herstellen und einsetzen

Die pq-Formel verlangt die Normalform x² + px + q = 0. Steht vor x² eine andere Zahl als 1, teilen Sie die ganze Gleichung zuerst durch a. Danach gilt x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q).

Für 2x² + 3x − 2 = 0 teilt der Rechner durch 2 und erhält x² + 1,5x − 1 = 0, also p = 1,5 und q = −1. Eingesetzt: −0,75 ± √(0,5625 + 1) = −0,75 ± √1,5625. Die Wurzel ist 1,25, die Lösungen lauten x₁ = 0,5 und x₂ = −2. Die abc-Formel liefert mit D = 9 + 16 = 25 dasselbe Ergebnis: (−3 ± 5) / 4.

In der pq-Form heißt die Diskriminante (p/2)² − q. Sie hat dasselbe Vorzeichen wie b² − 4ac, ist aber um den Faktor 4a² kleiner.

Scheitelpunkt der quadratischen Funktion bestimmen

Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt einer nach oben geöffneten Parabel oder der höchste einer nach unten geöffneten. Seine Koordinaten sind x_S = −b / 2a und y_S = c − b² / 4a. Für −x² + 4x − 3 = 0 ist a negativ, die Parabel öffnet sich nach unten. Der Rechner findet die Lösungen 3 und 1 und den Scheitelpunkt S(2 | 1), den höchsten Punkt der Kurve. Die x-Koordinate des Scheitels liegt stets in der Mitte der beiden Nullstellen. Wer die Extremstelle lieber über die Ableitung bestimmt, setzt im Ableitungsrechner die erste Ableitung gleich null und erhält dieselbe Stelle.

Praxisbeispiel quadratische Gleichung: rechteckige Fläche

Ein rechteckiges Beet soll 8 m² groß sein, die eine Seite ist 2 m länger als die andere. Mit der kürzeren Seite x gilt x · (x + 2) = 8, umgeformt x² + 2x − 8 = 0. Der Rechner liefert D = 4 + 32 = 36 und die Lösungen 2 und −4. Eine negative Seitenlänge ergibt keinen Sinn, also misst das Beet 2 m mal 4 m. Diese Auswahl der sinnvollen Lösung ist typisch für Sachaufgaben: Die Mathematik liefert beide, der Zusammenhang entscheidet.

Plausibilitätsprüfung mit dem Satz von Vieta

Für die Normalform x² + px + q = 0 gilt: x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q. Bei x² − 5x + 6 = 0 müssen die Lösungen also 5 ergeben, wenn man sie addiert, und 6, wenn man sie multipliziert. 3 und 2 erfüllen beides. Oft lassen sich einfache Gleichungen so sogar im Kopf lösen: Suchen Sie zwei Zahlen mit Produkt q und Summe −p. Als Größenordnung hilft außerdem der Scheitelpunkt, denn die Lösungen liegen symmetrisch um x_S.

Typische Fehler bei Diskriminante und pq-Formel

Der häufigste Fehler betrifft das Quadrat eines negativen b: (−4)² ist 16, nicht −16. Zweitens wird bei negativem c das doppelte Minus übersehen, bei x² − 4x − 5 ist −4ac gleich +20. Drittens wird die pq-Formel ohne Normalform angewendet. Viertens wird bei der abc-Formel nur b durch 2a geteilt statt des ganzen Zählers. Lineare Gleichungen mit a = 0 gehören in den Rechner zum Gleichung lösen, Systeme aus mehreren Gleichungen mit mehreren Unbekannten in den Gleichungssystem-Rechner.