Was sagt die Diskriminante über eine quadratische Gleichung aus?
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Die Diskriminante D = b² − 4ac verrät vor dem eigentlichen Lösen, wie viele reelle Lösungen eine quadratische Gleichung hat. Ist D positiv, gibt es zwei Lösungen, ist D null, eine doppelte Lösung, ist D negativ, keine reelle Lösung. Geometrisch zeigt sie, ob die Parabel die x-Achse schneidet, berührt oder verfehlt.
1·x² − 5·x + 6 = 0
Lösung
x₁ = 3, x₂ = 2
zwei reelle Lösungen
Diskriminante D
1
p und q
p = -5, q = 6
Scheitelpunkt
S(2,5 | -0,25)
Parabel nach oben geöffnet
Linearfaktoren
1 · (x − 3) · (x − 2)
Rechenweg (abc-Formel und pq-Formel)
- Gleichung: 1·x² − 5·x + 6 = 0
- Diskriminante: D = b² − 4·a·c = (-5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
- D > 0: Es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen.
- abc-Formel: x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a) = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2
- x₁ = 3, x₂ = 2
- Normalform (durch a teilen): x² − 5·x + 6 = 0, also p = -5, q = 6
- pq-Formel: x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q) = 2,5 ± √(6,25 − 6) = 2,5 ± √0,25
- Scheitelpunkt der Parabel: S(2,5 | -0,25) mit x_S = −b / (2a), y_S = c − b² / (4a)
- Probe mit Vieta: x₁ + x₂ = 5 = −p, x₁ · x₂ = 6 = q
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Formel
Die Diskriminante ist b zum Quadrat minus vier mal a mal c. Sie steht in der abc-Formel unter der Wurzel. Die Lösungen sind minus b plus oder minus die Wurzel aus D, geteilt durch zwei mal a.
D = b² − 4 · a · c; x = (−b ± √D) / (2 · a)
- a
- Faktor vor x², darf nicht null sein
- b
- Faktor vor x
- c
- Absolutglied ohne x
- D
- Diskriminante, entscheidet über die Anzahl der reellen Lösungen
Rechenbeispiel: x² − 5x + 6 = 0
- 1
Koeffizient a vor x² ablesen
= a = 1
- 2
Koeffizienten c ablesen, b ist hier minus 5
= c = 6
- 3
Diskriminante berechnen: (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24
= D = 1
- 4
D ist positiv, die Parabel schneidet die x-Achse zweimal
= 2 Lösungen
- 5
Lösungen mit der abc-Formel: (5 ± 1) / 2 ergibt x₁ = 3 und x₂ = 2
Weil D = 1 eine Quadratzahl ist, sind beide Lösungen ganze Zahlen, nämlich 3 und 2. Die Gleichung lässt sich deshalb auch als (x − 3) · (x − 2) = 0 schreiben.
Typische Fehler
errorNegatives b ohne Klammer quadriert
Bei b = −5 lautet b² in Klammern (−5)² = 25. Wer −5² in den Taschenrechner tippt, erhält −25, weil zuerst quadriert und dann das Vorzeichen gesetzt wird. Die Diskriminante wird dadurch falsch und die Zahl der Lösungen oft auch.
errorGleichung nicht vorher auf null gebracht
Die Diskriminante gilt nur für die Form ax² + bx + c = 0. Steht auf der rechten Seite noch eine Zahl oder ein x-Term, bringen Sie diese zuerst nach links. Sonst lesen Sie falsche Werte für b und c ab.
Die Diskriminante als Blick auf die Parabel
Jede quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 gehört zu einer Parabel, und ihre Lösungen sind die Stellen, an denen diese Parabel die x-Achse trifft. Die Diskriminante beantwortet damit eine anschauliche Frage, bevor überhaupt gerechnet wird: Liegt der Scheitelpunkt so, dass die Kurve die Achse erreicht? Bei einer nach oben geöffneten Parabel mit Scheitel unterhalb der Achse gibt es zwei Schnittpunkte. Liegt der Scheitel genau auf der Achse, berührt die Parabel sie nur, und die beiden Lösungen fallen zu einer doppelten Lösung zusammen. Schwebt der Scheitel darüber, bleibt die Achse unberührt.
Im Beispiel liegt der Scheitelpunkt bei S(2,5 | −0,25), also knapp unter der Achse. Entsprechend klein ist die Diskriminante mit D = 1, und die beiden Nullstellen 2 und 3 liegen nah beieinander. Eine große Diskriminante bedeutet dagegen weit auseinanderliegende Nullstellen, denn der Abstand zwischen ihnen ist die Wurzel aus D geteilt durch den Betrag von a.
Quadratische Gleichungen ohne Formel lösen
Nicht jede quadratische Gleichung braucht die abc-Formel. Fehlt das Absolutglied c, genügt Ausklammern: Aus 2x² − 8x = 0 wird 2x · (x − 4) = 0, die Lösungen sind 0 und 4. Fehlt das lineare Glied, hilft Wurzelziehen: Aus x² − 9 = 0 folgt x = 3 oder x = −3. Ist a gleich 1 und sind die Zahlen klein, lohnt sich zudem der Satz von Vieta. Gesucht sind zwei Zahlen, deren Produkt c und deren Summe minus b ergibt. Bei x² − 5x + 6 = 0 sind das 2 und 3, denn 2 · 3 = 6 und 2 + 3 = 5.
Die Diskriminante bleibt trotzdem nützlich, als schnelle Vorabprüfung. Ist sie negativ, können Sie sich jeden weiteren Lösungsversuch im Reellen sparen. Im Physikunterricht kommt das etwa vor, wenn ein geworfener Ball eine bestimmte Höhe nie erreicht.