Was ist die Quersumme? Ziffern addieren und Teilbarkeit prüfen

Was ist die Quersumme? Die Summe aller Ziffern einer Zahl

Die Quersumme ist die Summe der einzelnen Ziffern einer Zahl. Sie hängt nicht vom Wert der Zahl ab, sondern nur von ihren Ziffern: 123, 321 und 213 haben alle die Quersumme 6. Negative Vorzeichen, Tausenderpunkte und führende Nullen spielen keine Rolle. Die Quersumme von −123 ist ebenfalls 6. Mathematisch interessant ist sie, weil sie etwas über die Teilbarkeit einer Zahl verrät, ohne dass Sie die Zahl selbst teilen müssen.

Wie berechnet man die Quersumme Schritt für Schritt

Die Rechnung hat drei Schritte, hier am Beispiel 4.711:

1. Ziffern trennen: 4, 7, 1, 1.
2. Ziffern addieren: 4 + 7 + 1 + 1 = 13. Das ist die Quersumme.
3. Bei Bedarf wiederholen: 1 + 3 = 4. Das ist die iterierte, also einstellige Quersumme.

Der Rechner zeigt genau diese Schritte an und arbeitet mit der Ziffernfolge. Deshalb funktioniert er auch mit Zahlen, die kein Taschenrechner mehr darstellen kann, bis zu 10.000 Ziffern. Zusätzlich nennt er das Querprodukt, also das Produkt aller Ziffern. Bei 4.711 ist das 4 · 7 · 1 · 1 = 28, bei 1.234 sind es 24.

Quersumme von 9, 12, 16 und weiteren Zahlen in einer Tabelle

Diese Werte werden am häufigsten gesucht. Alle Angaben stammen aus dem Rechenkern:

Die Spalte Teilbar durch bezieht sich nur auf die drei Teiler, die sich über Quersummen prüfen lassen.

Iterierte Quersumme: so lange addieren, bis eine Ziffer bleibt

Die iterierte Quersumme, manchmal auch einstellige oder digitale Wurzel genannt, entsteht durch wiederholtes Bilden der Quersumme. 99.999 hat die Quersumme 45, daraus wird 4 + 5 = 9. Bei 12.345 führt der Weg über 15 zu 6.

Die iterierte Quersumme hat eine feste Beziehung zur Zahl 9: Sie ist gleich dem Rest, der beim Teilen durch 9 bleibt. Nur wenn die Zahl durch 9 teilbar ist, kommt statt 0 die Ziffer 9 heraus. 12.345 lässt beim Teilen durch 9 also den Rest 6. Diese Eigenschaft ist die Grundlage der Neunerprobe weiter unten.

Alternierende Quersumme: abwechselnd plus und minus von rechts

Bei der alternierenden Quersumme wechseln sich Plus und Minus ab. Der Rechner beginnt mit der letzten Ziffer und einem Plus. Für 4.711 lautet die Rechnung 1 − 1 + 7 − 4 = 3, für 121 lautet sie 1 − 2 + 1 = 0. Das Ergebnis kann negativ sein, bei 10 ist es 0 − 1 = −1.

Die alternierende Quersumme dient fast ausschließlich einem Zweck: Sie prüft die Teilbarkeit durch 11. Einige Lehrbücher beginnen mit der ersten Ziffer statt mit der letzten. Dann ändert sich bei gerader Stellenzahl nur das Vorzeichen, die Aussage zur Teilbarkeit bleibt dieselbe.

Teilbarkeitsregeln mit der Quersumme für 3, 9 und 11

Die drei Regeln im Überblick, jeweils mit Beispielen aus dem Rechner:

Warum das funktioniert: 10, 100, 1.000 und jede weitere Zehnerpotenz lassen beim Teilen durch 9 den Rest 1. Jede Ziffer trägt deshalb nur ihren eigenen Wert zum Rest bei. Weil 3 ein Teiler von 9 ist, gilt die Regel auch für 3. Bei 11 lassen die Zehnerpotenzen abwechselnd den Rest 1 und den Rest −1, daher das wechselnde Vorzeichen.

Praktisch hilft das beim Kürzen. Ein Bruch wie 123/459 lässt sich durch 3 kürzen, weil beide Quersummen durch 3 teilbar sind. Das Kürzen selbst erledigt der Bruchrechner. Alle Teiler einer Zahl auf einmal zeigt der Primfaktorzerlegung-Rechner.

Neunerprobe: Rechenergebnisse mit der Quersumme kontrollieren

Die Neunerprobe prüft schriftliche Rechnungen. Sie bilden die iterierte Quersumme jeder Zahl und rechnen damit dieselbe Aufgabe noch einmal im Kleinen. Ein Praxisbeispiel mit Werten aus dem Rechner:

• Aufgabe: 12 · 34 = 408.
• Iterierte Quersumme von 12 ist 3, von 34 ist 7.
• 3 · 7 = 21, davon die iterierte Quersumme ist 3.
• Iterierte Quersumme des Ergebnisses 408: 12, dann 3.

Beide Seiten ergeben 3, die Probe passt. Hätten Sie versehentlich 418 geschrieben, käme auf der rechten Seite 4 heraus und der Fehler wäre entdeckt. Einen Zahlendreher wie 480 statt 408 erkennt die Neunerprobe allerdings nicht, weil die Ziffern gleich bleiben.

Quersumme im Kopf: Neunen und Paare zusammenfassen

Für die Teilbarkeit durch 3 und 9 und für die iterierte Quersumme dürfen Sie jede 9 einfach weglassen. Dasselbe gilt für Ziffernpaare mit der Summe 9, etwa 4 und 5 oder 2 und 7. Bei 987.654.321 streichen Sie 9, dann die Paare 8 und 1, 7 und 2, 6 und 3, 5 und 4. Es bleibt nichts übrig, die Zahl ist also durch 9 teilbar. Der Rechner bestätigt das mit der Quersumme 45.

Als Plausibilitätsprüfung für die Größenordnung gilt: Die Quersumme kann höchstens neunmal so groß sein wie die Anzahl der Ziffern. Eine vierstellige Zahl hat also höchstens die Quersumme 36. Wie viele Stellen eine große Zahl hat, verrät übrigens der Zehnerlogarithmus aus dem Logarithmus-Rechner.

Typische Fehler bei Quersumme und Teilbarkeit

• Quersumme mit Zahl verwechselt: Die Quersumme sagt nur etwas über die Teilbarkeit durch 3 und 9. Eine Zahl mit gerader Quersumme ist nicht automatisch gerade: 23 hat die Quersumme 5, 11 die Quersumme 2.
• Regel für 9 auf 6 übertragen: Eine Quersumme, die durch 6 teilbar ist, beweist keine Teilbarkeit durch 6. Dafür muss die Zahl durch 2 und durch 3 teilbar sein.
• Alternierend von der falschen Seite: Beginnen Sie konsequent an einer Seite. Wer mittendrin das Vorzeichen verliert, erhält ein falsches Ergebnis für 11.
• Iterierte Quersumme 9 und Rest 0 verwechselt: Beide bedeuten dasselbe, die Zahl ist durch 9 teilbar.
• Nullen mitgezählt oder vergessen: Nullen verändern die Quersumme nicht, aber bei der alternierenden Quersumme besetzen sie eine Stelle und verschieben die Vorzeichen. Bei 1.001 ergibt 1 − 0 + 0 − 1 die 0.

Wer Jahreszahlen und andere Zahlen in einer anderen Schreibweise braucht, findet den Umrechner für römische Zahlen im selben Bereich.