Warum funktioniert die Teilbarkeitsregel mit der Quersumme?

Stand: September 2026Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik

Die Quersummenregel funktioniert, weil jede Zehnerpotenz bei Division durch 9 den Rest 1 lässt. Eine Zahl und ihre Quersumme haben deshalb immer denselben Rest bei Division durch 9 und damit auch durch 3. Ist die Quersumme durch 3 oder 9 teilbar, gilt das für die ganze Zahl ebenso.

Zahl

Beliebig lange ganze Zahlen, Tausenderpunkte werden ignoriert.

Quersumme

Iterierte Quersumme

15 → 6

Alternierende Quersumme

Anzahl Ziffern

Querprodukt

120

Teilbarkeitsregeln

teilbar durch 3Die Quersumme 15 ist durch 3 teilbar, also ist 12345 durch 3 teilbar.
nicht teilbar durch 9Die Quersumme 15 ist nicht durch 9 teilbar, also ist 12345 nicht durch 9 teilbar.
nicht teilbar durch 11Die alternierende Quersumme 3 ist nicht durch 11 teilbar (0 zählt als teilbar), also ist 12345 nicht durch 11 teilbar.

Rechenweg

Ziffern von 12345: 1, 2, 3, 4, 5
Quersumme: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Iterierte Quersumme: 15 → 1 + 5 = 6
Alternierende Quersumme (von rechts, beginnend mit +): 5 − 4 + 3 − 2 + 1 = 3
Teilbarkeit durch 3: Die Quersumme 15 ist durch 3 teilbar, also ist 12345 durch 3 teilbar.
Teilbarkeit durch 9: Die Quersumme 15 ist nicht durch 9 teilbar, also ist 12345 nicht durch 9 teilbar.
Teilbarkeit durch 11: Die alternierende Quersumme 3 ist nicht durch 11 teilbar (0 zählt als teilbar), also ist 12345 nicht durch 11 teilbar.

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Formel

Jede Ziffer steht für ein Vielfaches einer Zehnerpotenz. Weil 10, 100, 1000 und alle weiteren Zehnerpotenzen jeweils um eins größer sind als ein Vielfaches von 9, unterscheidet sich die Zahl von ihrer Quersumme nur um ein Vielfaches von 9.

Zahl − Quersumme = Vielfaches von 9

Quersumme: Summe aller Ziffern der Zahl
Neunerrest: Rest der Zahl bei Division durch 9, gleich dem Rest ihrer Quersumme

Rechenbeispiel: Teilbarkeit von 12345 prüfen

1

Ziffern der Zahl zählen: 1, 2, 3, 4 und 5

= 5 Ziffern
2

Quersumme bilden: 1 + 2 + 3 + 4 + 5

= 15
3

Iterierte Quersumme bilden: 1 + 5

= 6
4

Neunerrest ablesen: Er entspricht der iterierten Quersumme, solange diese kleiner als 9 ist

= Rest 6
5

Alternierende Quersumme von rechts: 5 − 4 + 3 − 2 + 1

= 3

Die Quersumme 15 ist durch 3 teilbar, aber nicht durch 9. Also ist 12345 durch 3 teilbar, nicht durch 9, und lässt bei Division durch 9 den Rest 6. Die alternierende Quersumme 3 zeigt, dass 12345 nicht durch 11 teilbar ist.

Typische Fehler

errorDie Quersummenregel auf andere Teiler übertragen

Die einfache Quersumme funktioniert nur für 3 und 9. Für die Teilbarkeit durch 7 oder 6 sagt sie allein nichts aus. Die 6 prüfen Sie über 2 und 3 gemeinsam, die 11 über die alternierende Quersumme.

errorAus der Quersumme auf den Quotienten geschlossen

Die Quersumme verrät nur, ob eine Zahl teilbar ist und welcher Rest bleibt. Sie liefert nicht das Ergebnis der Division. 12345 geteilt durch 3 ergibt 4115, das müssen Sie weiterhin ausrechnen.

Der Grund liegt in den Zehnerpotenzen

Eine Zahl wie 12345 ist eine Kurzschrift für 1 mal 10.000 plus 2 mal 1.000 plus 3 mal 100 plus 4 mal 10 plus 5. Jede dieser Zehnerpotenzen lässt sich als Vielfaches von 9 plus eins schreiben: 10 ist 9 plus 1, 100 ist 99 plus 1, 1.000 ist 999 plus 1. Setzt man das ein, zerfällt die Zahl in zwei Teile. Der eine Teil besteht nur aus Vielfachen von 9, der andere ist genau die Summe der Ziffern.

Daraus folgt der Kern der Regel: Die Zahl und ihre Quersumme unterscheiden sich um ein Vielfaches von 9. Bei 12345 beträgt der Unterschied 12.330, das ist 9 mal 1.370. Beide lassen deshalb bei Division durch 9 denselben Rest, und weil 9 durch 3 teilbar ist, gilt das auch für die Division durch 3. Die Regel ist also kein Zufall und keine Eselsbrücke, sondern folgt direkt aus dem Zehnersystem. Für die Teilbarkeit durch 11 funktioniert dieselbe Überlegung mit wechselnden Vorzeichen, weil Zehnerpotenzen dort abwechselnd um eins über oder unter einem Vielfachen von 11 liegen.

Quersummen in Prüfziffern und Rechenkontrollen

Dieselbe Idee steckt in vielen Prüfverfahren. Die Neunerprobe kontrolliert Rechnungen, indem sie statt der großen Zahlen nur deren Neunerreste verrechnet. Stimmt der Neunerrest des Ergebnisses nicht, liegt sicher ein Fehler vor. Vertauschte Ziffern erkennt sie allerdings nicht, denn die Quersumme bleibt beim Vertauschen gleich.

Moderne Prüfziffern gehen deshalb einen Schritt weiter und gewichten die Ziffern unterschiedlich. Bei der EAN auf Produktverpackungen werden die Ziffern abwechselnd mit 1 und 3 multipliziert, bevor sie addiert werden. Bei der IBAN wird ein Rest bei Division durch 97 gebildet. So fallen auch Zahlendreher auf, die eine einfache Quersumme übersehen würde. Das Grundprinzip bleibt dasselbe: Ein kleiner Kontrollwert wird aus allen Ziffern berechnet und beim Einlesen erneut geprüft.

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Häufige Fragen: Quersummen-Rechner

Warum gilt die Regel für 3, obwohl die Begründung mit 9 arbeitet? expand_more

Jedes Vielfache von 9 ist auch ein Vielfaches von 3. Weil sich Zahl und Quersumme nur um ein Vielfaches von 9 unterscheiden, unterscheiden sie sich auch nur um ein Vielfaches von 3. Deshalb haben beide denselben Rest bei Division durch 3.

Warum wechselt bei der Teilbarkeit durch 11 das Vorzeichen? expand_more

Zehnerpotenzen lassen bei Division durch 11 abwechselnd den Rest 1 und den Rest minus 1, denn 10 ist 11 minus 1 und 100 ist 99 plus 1. Deshalb werden die Ziffern von rechts beginnend abwechselnd addiert und subtrahiert.

Gibt es die Quersummenregel auch in anderen Zahlensystemen? expand_more

Ja. In jedem Stellenwertsystem mit der Basis b prüft die Quersumme die Teilbarkeit durch b minus 1 und dessen Teiler. Im Hexadezimalsystem mit Basis 16 verrät die Quersumme deshalb die Teilbarkeit durch 15, 5 und 3.