Scheitelpunkt berechnen: Parabel per quadratischer Ergänzung in Scheitelpunktform

Scheitelpunkt berechnen: Die Scheitelpunktform a(x − d)² + e verrät S(d | e) auf einen Blick

Jede quadratische Funktion lässt sich auf zwei Arten schreiben. In der Normalform f(x) = ax² + bx + c sieht man sofort den Schnittpunkt mit der y-Achse, nämlich c, aber nicht die Lage der Parabel. In der Scheitelpunktform f(x) = a(x − d)² + e ist es umgekehrt: d verschiebt die Normalparabel nach rechts oder links, e nach oben oder unten, und der Scheitelpunkt S(d | e) steht direkt im Term. Der Weg von der einen Form zur anderen heißt quadratische Ergänzung. Genau diese Umformung zeigt der Rechner Schritt für Schritt.

Scheitelpunktform berechnen mit quadratischer Ergänzung

Am einfachsten ist der Fall a = 1. Nehmen Sie f(x) = x² − 6x + 5. Der Koeffizient vor x ist −6, seine Hälfte −3, ihr Quadrat 9. Diese 9 wird addiert und sofort wieder abgezogen, der Wert der Funktion bleibt also gleich: f(x) = (x² − 6x + 9 − 9) + 5. Die ersten drei Glieder bilden jetzt eine binomische Formel, x² − 6x + 9 = (x − 3)². Übrig bleibt f(x) = (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4. Der Scheitelpunkt lautet S(3 | −4).

Bei positivem x-Glied funktioniert es genauso. Für x² + 4x + 1 ist die Hälfte 2, das Quadrat 4. Es folgt (x + 2)² − 4 + 1 = (x + 2)² − 3 mit S(−2 | −3). Fehlt das x-Glied ganz, wie bei x² − 4, ist die Funktion schon in Scheitelpunktform, der Scheitel liegt bei S(0 | −4).

Quadratische Ergänzung, wenn a nicht 1 ist

Steht vor x² ein anderer Faktor, wird er zuerst aus den x-Gliedern ausgeklammert. Für f(x) = 2x² − 8x + 6 rechnet der Rechner:

1. a ausklammern: f(x) = 2 · (x² − 4x) + 6
2. ergänzen: Die Hälfte von −4 ist −2, das Quadrat 4, also 2 · (x² − 4x + 4 − 4) + 6
3. binomische Formel: 2 · ((x − 2)² − 4) + 6
4. Klammer auflösen: 2 · (x − 2)² − 8 + 6
5. zusammenfassen: 2 · (x − 2)² − 2

Der entscheidende Schritt ist der vierte. Die abgezogene 4 steht innerhalb der Klammer mit dem Faktor 2 davor, beim Auflösen wird daraus −8. Wer diesen Faktor vergisst, erhält +2 statt −2. Bei negativem a gilt dasselbe: −0,5x² + 2x + 1 wird zu −0,5 · (x² − 4x) + 1, dann −0,5 · (x − 2)² + 2 + 1 und schließlich −0,5 · (x − 2)² + 3.

Scheitelpunkt der Parabel ablesen: Normalform und Scheitelpunktform im Vergleich

Die Regel fürs Ablesen: In der Klammer steht x minus d. Ein Plus in der Klammer bedeutet also ein negatives d, bei (x + 1)² ist d = −1.

Was a, d und e über Öffnung, Streckung und Verschiebung verraten

Der Faktor a bestimmt die Form, d und e nur die Lage. Ist a positiv, öffnet sich die Parabel nach oben, ist a negativ, nach unten. Ist der Betrag von a größer als 1, ist die Parabel gestreckt und wirkt schmaler als die Normalparabel, liegt er zwischen 0 und 1, ist sie gestaucht und wirkt breiter.

Die Symmetrieachse ist die senkrechte Gerade durch den Scheitelpunkt. Der Wertebereich beginnt oder endet beim y-Wert des Scheitels, weil die Parabel diesen Wert nie unter- beziehungsweise überschreitet.

Parabel durch drei Punkte: Scheitelpunkt aus einem Gleichungssystem

Oft ist keine Funktionsgleichung gegeben, sondern drei Punkte, etwa aus einer Messung. Der Rechner setzt sie in f(x) = ax² + bx + c ein. Für P₁(0 | 3), P₂(1 | 0) und P₃(3 | 0) entstehen drei Gleichungen. Aus der ersten folgt c = 3. Zieht man die erste von den anderen ab und teilt durch die x-Abstände, bleiben −3 = a + b und −1 = 3a + b. Daraus ergeben sich a = 1 und b = −4, also f(x) = x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1 mit S(2 | −1). Ein zweites Beispiel: Die Punkte (−1 | 0), (0 | 3) und (2 | 3) führen auf −x² + 2x + 3 = −(x − 1)² + 4 und den Hochpunkt S(1 | 4). Liegen die drei Punkte auf einer Geraden, meldet der Rechner a = 0, dann gibt es keine Parabel. Größere Systeme mit mehr Unbekannten löst der Gleichungssystem-Rechner.

Praxisbeispiel Scheitelpunkt: die Flugbahn eines Balls

Ein Ball wird aus 1 m Höhe geworfen, seine Bahn folgt h(x) = −0,5x² + 2x + 1, x ist die waagerechte Entfernung in Metern. Der Rechner formt um zu −0,5 · (x − 2)² + 3. Der Scheitelpunkt S(2 | 3) ist der höchste Punkt der Flugbahn: Nach 2 m Entfernung erreicht der Ball 3 m Höhe. Die Parabel ist nach unten geöffnet und gestaucht, der Wertebereich ist y ≤ 3. Die Nullstellen −0,4495 und 4,4495 liefern die Wurfweite: Der Ball landet nach rund 4,45 m. Den Lösungsweg für solche Gleichungen mit Diskriminante und pq-Formel zeigt der Rechner für quadratische Gleichungen.

Merkhilfe für den Scheitelpunkt: Formel, Symmetrie und Probe

Für eine schnelle Kontrolle reicht die Formel x_S = −b/(2a). Für 2x² − 8x + 6 ergibt sie 8 / 4 = 2, eingesetzt f(2) = −2. Dieselbe Stelle erhalten Sie, wenn Sie die Ableitung 4x − 8 gleich null setzen, denn der Scheitelpunkt ist der einzige Extrempunkt der Parabel. Diesen Weg für Funktionen höheren Grades zeigt der Extrempunkte-Rechner. Eine zweite Probe liefert die Symmetrie: Hat die Parabel Nullstellen, liegt x_S genau in deren Mitte. Bei 2x² − 8x + 6 sind das 1 und 3, die Mitte ist 2.

Typische Fehler bei der Scheitelpunktform

Erstens wird das Vorzeichen von d falsch abgelesen, aus (x + 2)² wird fälschlich d = 2. Zweitens wird beim Ausklammern von a auch das Absolutglied durch a geteilt. Drittens fehlt beim Auflösen der Klammer der Faktor a vor dem abgezogenen Quadrat. Viertens wird statt der halben die ganze Zahl vor x quadriert, bei x² − 6x also 36 statt 9 ergänzt. Fünftens wird bei negativem a vergessen, dass der Scheitelpunkt dann ein Hochpunkt ist und der Wertebereich nach oben begrenzt ist.