Quadratische Ergänzung Schritt für Schritt: Wie entsteht die Scheitelpunktform?
Stand: Rechenweg mit automatischen Tests geprüftMethodik
Bei der quadratischen Ergänzung klammern Sie a aus den x-Gliedern aus, addieren und subtrahieren das Quadrat des halben x-Koeffizienten, fassen drei Glieder mit der binomischen Formel zusammen und lösen die äußere Klammer auf. Aus 2x² − 8x + 6 wird so 2(x − 2)² − 2, der Scheitelpunkt lautet S(2 | −2).
Scheitelpunkt
S(2 | -2)
Tiefpunkt
Scheitelpunktform
f(x) = 2 · (x − 2)² − 2
Normalform: 2x² − 8x + 6
Öffnung
nach oben geöffnet, gestreckt (Faktor 2)
Symmetrieachse
x = 2
Wertebereich y ≥ -2
Nullstellen
x = 1; x = 3
Rechenweg
- Normalform: f(x) = 2x² − 8x + 6
- a = 2 aus den x-Gliedern ausklammern: f(x) = 2 · (x² − 4x) + 6
- Quadratische Ergänzung: Hälfte des x-Koeffizienten ist -2, ihr Quadrat 4. Addieren und gleich wieder abziehen: f(x) = 2 · (x² − 4x + 4 − 4) + 6
- Binomische Formel anwenden: f(x) = 2 · ((x − 2)² − 4) + 6
- Klammer auflösen: f(x) = 2 · (x − 2)² − 8 + 6
- Zusammenfassen: f(x) = 2 · (x − 2)² − 2
- Scheitelpunkt ablesen (Form a·(x − d)² + e): S(2 | -2)
- Kontrolle mit der Formel: x_S = −b / (2a) = 8 / 4 = 2, y_S = f(x_S) = -2
- Die Parabel ist nach oben geöffnet und gestreckt (Faktor 2). Der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt, Symmetrieachse x = 2.
Gleichung a·x² + b·x + c = 0 lösen, mit Diskriminante, abc- und pq-Formel: Rechner für quadratische Gleichungen.
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Mehr Infos baldDirekt zum Tool: Scheitelpunkt-Rechner öffnen
Formel
Ziel ist die Form a mal Klammer x minus d zum Quadrat plus e. Ergänzt wird das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten vor x, nachdem a ausgeklammert ist. Der Scheitelpunkt hat dann die Koordinaten d und e.
ax² + bx + c = a · (x² + (b/a)x) + c = a · (x − d)² + e mit d = −b/(2a), e = c − b²/(4a)
- a
- Streckfaktor, bestimmt Öffnung und Form der Parabel
- d
- x-Koordinate des Scheitelpunkts, Verschiebung nach rechts
- e
- y-Koordinate des Scheitelpunkts, Verschiebung nach oben
Rechenbeispiel: f(x) = 2x² − 8x + 6
- 1
a ausklammern, aber nur aus den x-Gliedern: f(x) = 2 · (x² − 4x) + 6
= Faktor 2 vor der Klammer, die 6 bleibt draußen
- 2
Hälfte des Koeffizienten −4 bestimmen und quadrieren: Das Quadrat 4 wird in der Klammer addiert und wieder abgezogen, 2 · (x² − 4x + 4 − 4) + 6
= Hälfte −2
- 3
Binomische Formel auf x² − 4x + 4 anwenden: 2 · ((x − 2)² − 4) + 6
= (x − 2)²
- 4
Äußere Klammer auflösen, dabei die −4 mit dem Faktor multiplizieren: 2 · (x − 2)² − 8 + 6
= 2 · (x − 2)² − 2
- 5
Scheitelpunkt aus a · (x − d)² + e ablesen und mit x_S = −b/(2a) = 8/4 kontrollieren
= S(2 | −2)
Die Scheitelpunktform 2(x − 2)² − 2 zeigt eine nach oben geöffnete, um den Faktor 2 gestreckte Parabel mit dem tiefsten Punkt S(2 | −2). Die Kontrollformel liefert denselben x-Wert.
Typische Fehler
errorErgänztes Quadrat beim Auflösen nicht mit a multipliziert
Das abgezogene Quadrat steht innerhalb der Klammer, vor der a steht. Beim Auflösen wird es deshalb mit a multipliziert. Im Beispiel wird aus −4 in der Klammer der Wert −8 außerhalb. Wer nur −4 übernimmt, erhält +2 statt −2 als y-Wert des Scheitels.
errorGanzen statt halben x-Koeffizienten quadriert
Die binomische Formel (x − d)² = x² − 2dx + d² zeigt, dass der Koeffizient vor x das Doppelte von d ist. Ergänzt wird daher das Quadrat der Hälfte. Bei x² − 4x sind das 4, nicht 16. Mit dem falschen Wert lässt sich keine binomische Formel bilden.
Quadratische Ergänzung bei negativem a und ohne x-Glied
Das Verfahren bleibt gleich, wenn a negativ ist, nur die Vorzeichen verlangen mehr Aufmerksamkeit. Bei −x² + 4x − 3 wird −1 ausgeklammert, aus +4x wird dabei −4x in der Klammer: −1 · (x² − 4x) − 3. Danach folgen dieselben Schritte wie bei positivem a, bis −(x − 2)² + 1 dasteht. Beim Auflösen der Klammer wird das abgezogene Quadrat mit −1 multipliziert und damit positiv. Genau an dieser Stelle entstehen die meisten Vorzeichenfehler.
Fehlt das x-Glied, ist nichts zu ergänzen. Die Funktion x² − 4 steht bereits in Scheitelpunktform mit d = 0, der Scheitel liegt bei S(0 | −4) auf der y-Achse. Fehlt dagegen das Absolutglied, wie bei 3x² + 6x, rechnen Sie ganz normal: 3 · (x² + 2x) ergänzt zu 3 · ((x + 1)² − 1) und aufgelöst zu 3(x + 1)² − 3.
Die Scheitelpunktform rückwärts prüfen
Die zuverlässigste Probe ist der Rückweg. Multiplizieren Sie die Scheitelpunktform aus und vergleichen Sie mit der Ausgangsfunktion. Aus 2(x − 2)² − 2 wird 2 · (x² − 4x + 4) − 2, also 2x² − 8x + 8 − 2 = 2x² − 8x + 6. Stimmt jeder Koeffizient, ist die Ergänzung richtig. Weicht nur die Zahl ohne x ab, liegt der Fehler fast immer beim Auflösen der äußeren Klammer. Weicht der x-Koeffizient ab, wurde die Hälfte falsch bestimmt.
Ist die Parabel nicht als Term, sondern durch drei Punkte gegeben, bestimmen Sie zuerst a, b und c über ein lineares Gleichungssystem und ergänzen dann wie gewohnt. Für die Punkte (0 | 3), (1 | 0) und (3 | 0) ergibt sich so x² − 4x + 3, ergänzt (x − 2)² − 1. Weil a = 1 ist, entfällt hier das Ausklammern, und die Ergänzung ist in zwei Zeilen erledigt.