Schriftlich dividieren: schriftliche Division mit Rest, Komma und Rechenweg

Schriftlich dividieren: von links teilen, malnehmen, abziehen, herunterholen

Die schriftliche Division ist das einzige der vier schriftlichen Rechenverfahren, das links beginnt. Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren laufen von den Einern aus nach links, beim Teilen arbeiten Sie sich dagegen von der größten Stelle nach rechts vor. Jeder Schritt besteht aus vier Handgriffen, die sich immer wiederholen: teilen, malnehmen, abziehen, herunterholen. Wer diesen Takt einmal verinnerlicht hat, kann auch lange Aufgaben sicher lösen.

Schriftliche Division Schritt für Schritt am Beispiel 1.234 : 7

So sieht die Aufgabe 1.234 : 7 im Heft aus, genau wie der Rechner sie ausgibt:

 1234 : 7 = 176 Rest 2
 −7
 ──
  53
 −49
 ───
   44
  −42
  ───
    2

1. Teilen: Die 1 ist kleiner als 7, also nehmen Sie die ersten zwei Ziffern. 12 : 7 = 1.
2. Malnehmen und abziehen: 1 · 7 = 7, 12 − 7 = 5.
3. Herunterholen: Die 3 kommt neben die 5, das ergibt 53. 53 : 7 = 7, denn 7 · 7 = 49. Rest 4.
4. Wiederholen: Die 4 herunterholen ergibt 44. 44 : 7 = 6, denn 6 · 7 = 42. Rest 2.

Es gibt keine Ziffer mehr zum Herunterholen. Das Ergebnis lautet 176 Rest 2.

Die erste Teilzahl bei der schriftlichen Division finden

Der wichtigste Schritt passiert ganz am Anfang. Sie suchen von links die kleinste Zahl, in die der Divisor mindestens einmal hineinpasst. Diese erste Teilzahl entscheidet, wie viele Stellen das Ergebnis hat: Jede Ziffer, die danach noch heruntergeholt wird, liefert genau eine weitere Ergebnisziffer.

Bei zweistelligen Divisoren wie 21 hilft eine kleine Hilfstabelle am Rand: 21, 42, 63, 84 und so weiter. Dann sehen Sie sofort, dass 84 die größte Zahl unter 98 ist und die Ergebnisziffer 4 lautet.

Schriftlich dividieren mit Rest: Bedeutung und Probe

Geht eine Division nicht auf, bleibt am Ende ein Rest. Er ist der Teil, der sich nicht mehr gleichmäßig verteilen lässt. In der Grundschule schreibt man das Ergebnis als „176 Rest 2“ oder kurz „176 R 2“. Mit der Probe prüfen Sie jedes Ergebnis: Ergebnis mal Divisor, dann den Rest addieren.

Für das Malnehmen in der Probe eignet sich der Rechner zum schriftlichen Multiplizieren, der die Zwischenzeilen ebenfalls zeigt.

Null im Ergebnis bei der schriftlichen Division

Eine häufige Stolperstelle entsteht, wenn nach dem Herunterholen eine Zahl entsteht, die kleiner als der Divisor ist. Dann passt der Divisor null Mal hinein, und diese 0 muss ins Ergebnis. Bei 3.672 : 12 sieht das so aus:

 3672 : 12 = 306
−36
───
   7
  −0
  ──
   72
  −72
  ───
    0

Nach 36 − 36 bleibt nichts übrig. Die 7 wird heruntergeholt, aber 7 : 12 = 0. Diese 0 steht im Ergebnis, erst danach folgt die 2. Ohne die 0 stünde dort 36, und die Probe 36 · 12 = 432 zeigt sofort, dass das nicht stimmen kann.

Schriftlich dividieren mit Komma im Dividenden und im Divisor

Bei Dezimalzahlen gibt es zwei Fälle. Steht das Komma nur im Dividenden, rechnen Sie ganz normal und setzen im Ergebnis das Komma, sobald Sie die erste Ziffer hinter dem Komma herunterholen. Steht das Komma im Divisor, verschieben Sie es zuerst: Beide Zahlen werden mit 10, 100 oder 1.000 multipliziert, bis der Divisor keine Nachkommastelle mehr hat. Der Wert der Aufgabe ändert sich dadurch nicht.

Sind die Ziffern des Dividenden aufgebraucht und es bleibt ein Rest, hängen Sie eine 0 an und teilen weiter. Bei 7 : 8 entsteht so 0,875, bei 25 : 4 das Ergebnis 6,25.

Periodische Ergebnisse bei der schriftlichen Division erkennen

Manche Divisionen gehen auch nach vielen Nachkommastellen nicht auf. Sobald ein Rest zum zweiten Mal auftritt, wiederholt sich alles, was danach kommt. Die Ziffern ab dieser Stelle bilden die Periode, geschrieben mit Strich darüber oder in Klammern.

 1,000000 : 7 = 0,1̅4̅2̅8̅5̅7̅
−0
──
  10
  −7
  ──
   30
  −28
  ───
    20
   −14
   ───
     60
    −56
    ───
      40
     −35
     ───
       50
      −49
      ───
        1

Am Ende steht wieder Rest 1, mit dem die Rechnung nach dem Komma begonnen hat. Deshalb kommen ab jetzt wieder 1, 4, 2, 8, 5, 7. Weitere Beispiele: 1 : 3 = 0,(3), 2 : 3 = 0,(6), 5 : 6 = 0,8(3), 1 : 9 = 0,(1) und 365 : 12 = 30,41(6). Wer solche Ergebnisse in Brüche zurückverwandeln will, nutzt den Bruch-Dezimal-Umrechner.

Schriftlich teilen mit Überschlag: Merkhilfe zur Plausibilitätsprüfung

Bevor Sie rechnen, lohnt ein Überschlag mit runden Zahlen. Für 1.234 : 7 runden Sie den Dividenden auf eine Zahl, die sich leicht durch 7 teilen lässt: 1.400 : 7 = 200. Da 1.234 kleiner als 1.400 ist, muss das Ergebnis etwas unter 200 liegen. 176 passt. Für 3.672 : 12 liefert 3.600 : 12 = 300 die Größenordnung, 306 ist plausibel. Ein Ergebnis wie 36 oder 3.006 fällt dagegen sofort auf.

Zweite Merkhilfe: Die Stellenzahl. Zählen Sie die Ziffern nach der ersten Teilzahl und addieren Sie eins. So wissen Sie vorher, ob ein zwei-, drei- oder vierstelliges Ergebnis herauskommen muss.

Typische Fehler beim schriftlichen Dividieren

• Null im Ergebnis vergessen: Passt der Divisor nach dem Herunterholen nicht hinein, gehört eine 0 ins Ergebnis, bevor die nächste Ziffer heruntergeholt wird.
• Rest zu groß: Ist der Rest nach dem Abziehen gleich oder größer als der Divisor, war die Ergebnisziffer zu klein gewählt.
• Komma im Divisor stehen gelassen: Ohne Kommaverschiebung lässt sich nicht sauber teilen. Beide Zahlen müssen um gleich viele Stellen verschoben werden.
• Zwei Ziffern auf einmal heruntergeholt: Jede heruntergeholte Ziffer erzeugt genau eine Ergebnisziffer, auch wenn diese 0 ist.
• Falsch untereinander geschrieben: Das Produkt steht immer genau unter der Teilzahl, sonst verrutschen die Stellen beim schriftlichen Subtrahieren der Zwischenschritte.

Geteilt rechnen schriftlich im Alltag: 365 Tage auf 12 Monate

Ein Jahr hat 365 Tage. Wie viele Tage hat ein Monat im Durchschnitt? Mit Rest gerechnet ergibt 365 : 12 genau 30 Rest 5: Zwölf Monate zu je 30 Tagen, und fünf Tage bleiben übrig. Rechnen Sie mit Komma weiter, erhalten Sie 30,41(6), also rund 30,42 Tage pro Monat. Ein zweites Beispiel: Wer 1.000 Euro gleichmäßig auf 8 Personen verteilt, rechnet 1.000 : 8 = 125 Euro ohne Rest.

Für Divisionen mit sehr großen Zahlen oder als schnelle Kontrolle hilft der Taschenrechner. Den Rechenweg mit allen Zwischenzeilen, wie ihn die Lehrkraft sehen möchte, zeigt aber nur das schriftliche Verfahren.